Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os números negativos (como também o zero e os números imaginários) passaram tempos difíceis ao longo da História da Matemática.. Os números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de carneiros, nem campos com número negativo de comprimento… Enquanto a noção de número estiver ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser, naturalmente, concebidos nem aceitos. Entre os vários conceitos criados pelo homem, é certo dizer que encontra-se num lugar de destaque o número negativo. Hoje uma criança aceita com facilidade o resultado da conta 9-7, pois nove laranjas menos sete laranjas dá o resultado duas laranjas, facílimo não? Mas quando ocorre o inverso 7-9, como explicar? Se torna impossível, para muito alunos que ainda não chegaram ao 7º ano. O primeiro uso conhecido desses números encontra-se numa obra indiana, atribuída a Brahmagupta (628 d.C aprox.), na qual são interpretados como dívidas.
Conjunto dos "Números Absurdos". Que hoje conhecemos como números inteiros, positivos e negativos.Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. Reta Numérica InteiraReta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).Exemplos:(a) 3 é sucessor de 2(b) 2 é antecessor de 3(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e) 0 é antecessor de 1(f) 1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.Exemplos:(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.Módulo de um número InteiroO módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais . Assim:x = max{-x,x}Exemplos:(a) 0 = 0(b) 8 = 8(c) -6 = 6Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.Soma (adição) de números inteirosPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.Exemplos:(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4
segunda-feira, 12 de outubro de 2009
Ambientes Virtuais de Aprendizagem
Cada vez mais a Educação a Distância (EaD) aponta-se como uma alternativa metodológica para ensino-aprendizagem, especialmente em formação continuada, contribuindo para a formação de discentes mais autônomos. Em EaD, os atores do processo geralmente estão separados fisicamente não apenas no espaço, mas também no tempo. Nesse sentido, é imprescindível observar que atualmente essa modalidade de educação recebe influências da constante evolução das Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs), as quais ampliaram as possibilidades de interação entre os participantes, possibilitando o surgimento da EaD online.
A modalidade de EaD por algum tempo foi quase restrita à distribuição de materiais didáticos aos discentes e à avaliação do conteúdo programático pelos tutores. No entanto, esta modalidade começou a sofrer forte influência com o surgimento dos primeiros computadores pessoais na década de 80 e seu avanço significativo na década de 90, quando sua utilização começou a ser explorada devido às novas mídias digitais. Ainda na década de 90, ocorreu a rápida disseminação da Internet pelo mundo com a chegada da Web, proporcionando uma nova EaD, caracterizada pela comunicação via rede de computadores entre discente e docente. Tudo isso foi possível graças ao surgimento e avanço de diversas ferramentas de desenvolvimento para aplicações Web, como linguagens de programação, tais como Perl (Practical Extraction and Report Language), PHP (PHP: Hipertext Preprocessor), ASP (Active Server Pages), JSP (JavaServer Pages) e frameworks (estruturas de suporte ao desenvolvimento de software) especializados para o propósito.
Diante da modalidade de Educação a Distância (EaD), surge a necessidade de meios cada vez mais versáteis e próximos à realidade dos alunos, tutores e técnicos administrativos em cursos oferecidos a distância. Neste contexto, diferentes produtos de software têm sido desenvolvidos no propósito de aproximar as pessoas em comunidades virtuais através de ferramentas que possibilitam a troca de informações, experiências e a geração de novos conhecimentos. Esses aplicativos são conhecidos como Ambientes Virtuais de Ensino e sua utilização abrange desde cursos online de curta duração até cursos de pós-graduação.
Ao oferecer recursos específicos e um ambiente rico em interação, os ambientes virtuais de aprendizagens tornam-se uma base concreta para realização de cursos a distância online. Por Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), ou Virtual Learning Environment (VLE), entende-se um conglomerado de ferramentas para administração de cursos através de uma rede de computadores, como a Internet. Nesse ambiente, o docente pode disponibilizar conteúdos, interagir com os discentes, ensinando-os a distância por meio de recursos múltimídia ou outros que viabilizam variadas formas de comunicação Ambientes Virtuais de Aprendizagem.
Ambientes Virtuais de Aprendizagem são (software)s que auxiliam na montagem de (curso)s acessíveis pela (Internet). Elaborado para ajudar os docentes no gerenciamento de conteúdos para seus discentes e na administração do curso, permite acompanhar constantemente o progresso dos discentes. Como ferramenta para Ambientes digitais de aprendizagem são sistemas computacionais disponíveis na internet, destinados ao suporte de atividades mediadas pelas tecnologias de informação e comunicação. Permitem integrar múltiplas mídias, linguagens e recursos, apresentar informações de maneira organizada, desenvolver interações entre pessoas e objetos de conhecimento, elaborar e socializar produções tendo em vista atingir determinados objetivos.
Os AVAs buscam oferecer aos discentes e docentes características semelhantes a uma sala de aula real, privilegiando a interação entre discentes/discentes, discentes/docentes, a autoria de material didático e a administração da sala virtual, além do monitoramento de atividades virtuais. Nesse sentido, existe uma lista de ferramentas que um ambiente virtual de aprendizagem deve conter, destacando:
Quadro de Avisos: tem por objetivo fornecer ao discente informação sobre o que deve estar acontecendo no curso, agenda as realizações online e as chamadas de participação dos alunos.
Distribuição de aulas Online: permitir disponibilizar os conteúdos dos módulos, como arquivo e transparências, bem como outros formatos de apresentação de multimídia, por exemplo.
Frequently Asked Questions (FAQ): conjunto de respostas à perguntas frequentes, é uma forma mais rápida do aluno buscar solução à dúvidas comuns.
Trabalho em Equipe: oportuniza os estudantes a trabalharem em pequenos grupos em um projeto definido.
Fórum de Discussão: principal método de suporte aos discentes, oportuniza-os comunicarem entre si e com o tutor sobre atividades e conteúdo do módulo.
Café Acadêmico: área de encontro e discussão informal entre docentes e participantes do curso.
Bate-Papo: ferramenta de comunicação síncrona que provê melhoramento da motivação dos discentes.
Uma falha crítica apresentada em ambientes virtuais de ensino é que o desenvolvimento desses programas é muito focado no design, organização de conteúdos e monitoramento de atividades, em detrimento das necessidades dos aprendizes A experiência adquirida na utilização de ambientes virtuais de ensino pelos autores deste tutorial permite apontar ainda algumas outras deficiências:
· ausência de integração entre as diversas “salas”;
· ausência de recursos de acompanhamento acadêmico;
· ausência de suporte para programas curriculares (grades, disciplinas, boletim, trabalho de conclusão de curso, etc.);
· baixa qualidade dos recursos de bate-papo.
As deficiências apontadas surgem principalmente porque os ambientes virtuais de ensino são mais focados nas salas de aula isoladamente, não levando em consideração um curso seqüencial, onde o discente tenha que passar por várias salas e seus dados acadêmicos devem ser integrados
dentro das mesmas. Ferramentas como boletim acadêmico e uma ferramenta para formalização de trabalhos de conclusão de curso por exemplo tornam-se importantes no sentido de facilitar o acompanhamento da evolução de alunos dentro de um curso, tornando o ambiente virtual não apenas um meio de ensino, mas também uma solução acadêmica mais completa que realmente
monitore a vida acadêmica do discente.
A modalidade de EaD por algum tempo foi quase restrita à distribuição de materiais didáticos aos discentes e à avaliação do conteúdo programático pelos tutores. No entanto, esta modalidade começou a sofrer forte influência com o surgimento dos primeiros computadores pessoais na década de 80 e seu avanço significativo na década de 90, quando sua utilização começou a ser explorada devido às novas mídias digitais. Ainda na década de 90, ocorreu a rápida disseminação da Internet pelo mundo com a chegada da Web, proporcionando uma nova EaD, caracterizada pela comunicação via rede de computadores entre discente e docente. Tudo isso foi possível graças ao surgimento e avanço de diversas ferramentas de desenvolvimento para aplicações Web, como linguagens de programação, tais como Perl (Practical Extraction and Report Language), PHP (PHP: Hipertext Preprocessor), ASP (Active Server Pages), JSP (JavaServer Pages) e frameworks (estruturas de suporte ao desenvolvimento de software) especializados para o propósito.
Diante da modalidade de Educação a Distância (EaD), surge a necessidade de meios cada vez mais versáteis e próximos à realidade dos alunos, tutores e técnicos administrativos em cursos oferecidos a distância. Neste contexto, diferentes produtos de software têm sido desenvolvidos no propósito de aproximar as pessoas em comunidades virtuais através de ferramentas que possibilitam a troca de informações, experiências e a geração de novos conhecimentos. Esses aplicativos são conhecidos como Ambientes Virtuais de Ensino e sua utilização abrange desde cursos online de curta duração até cursos de pós-graduação.
Ao oferecer recursos específicos e um ambiente rico em interação, os ambientes virtuais de aprendizagens tornam-se uma base concreta para realização de cursos a distância online. Por Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), ou Virtual Learning Environment (VLE), entende-se um conglomerado de ferramentas para administração de cursos através de uma rede de computadores, como a Internet. Nesse ambiente, o docente pode disponibilizar conteúdos, interagir com os discentes, ensinando-os a distância por meio de recursos múltimídia ou outros que viabilizam variadas formas de comunicação Ambientes Virtuais de Aprendizagem.
Ambientes Virtuais de Aprendizagem são (software)s que auxiliam na montagem de (curso)s acessíveis pela (Internet). Elaborado para ajudar os docentes no gerenciamento de conteúdos para seus discentes e na administração do curso, permite acompanhar constantemente o progresso dos discentes. Como ferramenta para Ambientes digitais de aprendizagem são sistemas computacionais disponíveis na internet, destinados ao suporte de atividades mediadas pelas tecnologias de informação e comunicação. Permitem integrar múltiplas mídias, linguagens e recursos, apresentar informações de maneira organizada, desenvolver interações entre pessoas e objetos de conhecimento, elaborar e socializar produções tendo em vista atingir determinados objetivos.
Os AVAs buscam oferecer aos discentes e docentes características semelhantes a uma sala de aula real, privilegiando a interação entre discentes/discentes, discentes/docentes, a autoria de material didático e a administração da sala virtual, além do monitoramento de atividades virtuais. Nesse sentido, existe uma lista de ferramentas que um ambiente virtual de aprendizagem deve conter, destacando:
Quadro de Avisos: tem por objetivo fornecer ao discente informação sobre o que deve estar acontecendo no curso, agenda as realizações online e as chamadas de participação dos alunos.
Distribuição de aulas Online: permitir disponibilizar os conteúdos dos módulos, como arquivo e transparências, bem como outros formatos de apresentação de multimídia, por exemplo.
Frequently Asked Questions (FAQ): conjunto de respostas à perguntas frequentes, é uma forma mais rápida do aluno buscar solução à dúvidas comuns.
Trabalho em Equipe: oportuniza os estudantes a trabalharem em pequenos grupos em um projeto definido.
Fórum de Discussão: principal método de suporte aos discentes, oportuniza-os comunicarem entre si e com o tutor sobre atividades e conteúdo do módulo.
Café Acadêmico: área de encontro e discussão informal entre docentes e participantes do curso.
Bate-Papo: ferramenta de comunicação síncrona que provê melhoramento da motivação dos discentes.
Uma falha crítica apresentada em ambientes virtuais de ensino é que o desenvolvimento desses programas é muito focado no design, organização de conteúdos e monitoramento de atividades, em detrimento das necessidades dos aprendizes A experiência adquirida na utilização de ambientes virtuais de ensino pelos autores deste tutorial permite apontar ainda algumas outras deficiências:
· ausência de integração entre as diversas “salas”;
· ausência de recursos de acompanhamento acadêmico;
· ausência de suporte para programas curriculares (grades, disciplinas, boletim, trabalho de conclusão de curso, etc.);
· baixa qualidade dos recursos de bate-papo.
As deficiências apontadas surgem principalmente porque os ambientes virtuais de ensino são mais focados nas salas de aula isoladamente, não levando em consideração um curso seqüencial, onde o discente tenha que passar por várias salas e seus dados acadêmicos devem ser integrados
dentro das mesmas. Ferramentas como boletim acadêmico e uma ferramenta para formalização de trabalhos de conclusão de curso por exemplo tornam-se importantes no sentido de facilitar o acompanhamento da evolução de alunos dentro de um curso, tornando o ambiente virtual não apenas um meio de ensino, mas também uma solução acadêmica mais completa que realmente
monitore a vida acadêmica do discente.
Lista de exercícios de equações exponenciais
Lista de Exercícios de Equações Exponenciais( Professor Rogério ) *
1) 27x = 243
2) 625x = 25
3) (4/9)x = (81/16)
4) (5)x+2 = 125x
5) 7 3x -9 -49 = 0
6) 4x +3.(2 x +1 )= 16
7) 22x -12.(2x)= 32
8) (Ö 3 )x+1 = 243
9) 3x . 7 x = (441) 1/4
10) 3x – 3 4-x = 24
11) 2x-1 = 16x/3
12) 2 2x = 64x-2
13) (3/2) x = (8/27)
14) 32x - 6.3 x +27= 54
15) 81 1 -3x =1
16) (Ö2) 3x-1 =( 3Ö16 )2x-1
17) (1/7) = 7Ö (49)(x-1)
18) 9x +3x +1 = 4
19) ( 3Ö 2 x ) = 1/32
20) 32x = 3Ö 9
21) (4)x = 0,25
22) (52 –x ) x-3 = 1
23) 3x +2 = 5Ö 1/3
24) 3x +1 -3x = 1458
25) 2x+1 = 1024
26) (0,0001)x = 10 8-5x
27) 92x =27 x-1
28) (125)x-1 = (5) x+7
29)(8)2x+1 = 3Ö4x-1
30) (5)x-1 = 0,04
Gabarito
1) 5/3 16) 5/7
2) 1/2 17)-3
3) -2 18)0
4) 1 19)-15
5) 11/3 20)1/3
6) 1 21) -1
7)2 e 3 22)2 e 3
8)9 23)-11/5
9) 1/2 24)6
10) 3 25)9
11) -3 26)8
12) 3 27)-3
13) -3 28)5
14) 2 29)-1/2
15) 1/3 30)-1
1) 27x = 243
2) 625x = 25
3) (4/9)x = (81/16)
4) (5)x+2 = 125x
5) 7 3x -9 -49 = 0
6) 4x +3.(2 x +1 )= 16
7) 22x -12.(2x)= 32
8) (Ö 3 )x+1 = 243
9) 3x . 7 x = (441) 1/4
10) 3x – 3 4-x = 24
11) 2x-1 = 16x/3
12) 2 2x = 64x-2
13) (3/2) x = (8/27)
14) 32x - 6.3 x +27= 54
15) 81 1 -3x =1
16) (Ö2) 3x-1 =( 3Ö16 )2x-1
17) (1/7) = 7Ö (49)(x-1)
18) 9x +3x +1 = 4
19) ( 3Ö 2 x ) = 1/32
20) 32x = 3Ö 9
21) (4)x = 0,25
22) (52 –x ) x-3 = 1
23) 3x +2 = 5Ö 1/3
24) 3x +1 -3x = 1458
25) 2x+1 = 1024
26) (0,0001)x = 10 8-5x
27) 92x =27 x-1
28) (125)x-1 = (5) x+7
29)(8)2x+1 = 3Ö4x-1
30) (5)x-1 = 0,04
Gabarito
1) 5/3 16) 5/7
2) 1/2 17)-3
3) -2 18)0
4) 1 19)-15
5) 11/3 20)1/3
6) 1 21) -1
7)2 e 3 22)2 e 3
8)9 23)-11/5
9) 1/2 24)6
10) 3 25)9
11) -3 26)8
12) 3 27)-3
13) -3 28)5
14) 2 29)-1/2
15) 1/3 30)-1
domingo, 11 de outubro de 2009
A origem dos Sistemas lineares
Como foi mencionado no Capítulo Origem das Matrizes foram os chineses os primeiros a representar os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. E acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares.
Porém, foi somente em 1683, que o japonês Seki Kowa, após um trabalho, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), apresentando-a seu artigo Introdução à Análise das Curvas Planas (1750), motivado pelo desejo de resolver uma equação de uma curva plana que passasse por um certo número de pontos.
A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através das menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a demonstração apresentada por Cauchy era superior.
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.
Porém, foi somente em 1683, que o japonês Seki Kowa, após um trabalho, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), apresentando-a seu artigo Introdução à Análise das Curvas Planas (1750), motivado pelo desejo de resolver uma equação de uma curva plana que passasse por um certo número de pontos.
A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.
O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através das menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a demonstração apresentada por Cauchy era superior.
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.
A origem das Matrizes
Perto da metade do século XIX, o matemático inglês Arthur Cayley (1821 – 1895) foi o primeiro a estudar matrizes, definindo matriz nula matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações sobre elas. Cayley descendia de uma família de gente muito talentosa e desde cedo mostrou aptidão para os estudos. Seus pais então decidiram enviá-lo para estudar na Universidade de Cambridge. Em 1863, ele aceitou um convite para ocupar a cadeira de matemática criada na própria Universidade, permanecendo até a sua morte. No período em que era estudante conheceu James Joseph Sylvester (1814 – 1897), também um ícone da álgebra britânica. Como ambos pesquisavam as mesmas áreas, tornaram grandes amigos. E foi nessa época então que Cayley, 1855 escreveu um artigo usando o termos Matriz (termo este que já teria sido usado por Sylvester a cinco anos antes) salientando que como pela lógica a noção de Matriz antecedesse a de Determinantes o que historicamente não era correto, pois os Determinantes já eram usados na resolução de sistemas lineares muito antes da criação das matrizes. Como já mencionamos, os chineses alguns séculos antes de Cristo já resolviam sistemas de equações lineares por processos em que está implícita a idéia de matriz.
Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a notação no estudo de transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por exemplo, a observação feita por ele do efeito de duas transformações sucessivas sobre uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes (linhas por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava da propriedade comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propõe ainda que resumidamente a idéia de matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas propriedades.
Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a notação no estudo de transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por exemplo, a observação feita por ele do efeito de duas transformações sucessivas sobre uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes (linhas por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava da propriedade comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propõe ainda que resumidamente a idéia de matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas propriedades.
O surgimento do Cálculo Diferencial Integral
O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.
Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.
Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.
As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+
(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.
Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.
Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.
Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.
As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+
(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.
Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.
A história da Álgebra
A álgebra se caracteriza por seus métodos, coadjuvantes no emprego de letras e expressões literais sobre as quais se realizam operações. Ela está presente em toda a matemática, pois qualquer problema pode ser concluído convertendo-o em um cálculo mais ou menos algébrico.
O nome Álgebra vem do árabe “al –jabr” , termo que para o matemático Al-Khwarizmi, do século IX, significava uma das regras utilizadas na resolução das equações de 1º e 2º graus. Daí a palavra álgebra designar, durante muitos anos, o estudo da resolução de equações, mas sobretudo a melhor tradução fosse a ciência das equações.
Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: na álgebra antiga, ou álgebra elementar, que é o estudo das equações e métodos para resolvê-las e na álgebra moderna ou abstrata, que é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos anéis e corpos .
Os antigos Egípcios, há cerca de dois mil anos antes de Cristo, usaram o método da falsa posição para determinar a solução da equação de primeiro grau. Este método foi utilizado durante muitos séculos. Aparece no “Líber Abaci” de Leonardo de Pisa (séculos XII – XIII), na “Summa de Arithmetica, Geometria, Prorportioni et Proportionalita” de Luca Pacioli.
De forma análoga, a resolução da equação de 2º grau, presente em inúmeros problemas da antiguidade, constituiu uma preocupação para os povos da antiga Babilônia e da antiga Grécia. Os Babilônios resolviam-nos consultando tabelas de quadrados e fazendo, quando necessário, um enquadramento adequado. Os gregos davam uma interpretação geométrica à equação de 2º grau, trabalhando com segmentos e áreas em vez de números. Os babilônios também conseguiram resolver alguns casos particulares de equações de 3º grau.
Ao longo dos séculos que precedem a renascença italiana, surgiram frequentemente equações de 1º, 2º e 3º graus, relacionadas com problemas que mereceram a atenção dos matemáticos.
A forma algébrica como linguagem, associada a sua simbologia, tem um tratamento sintático e semântico, ou seja , expressa uma sintaxe universal para uma semântica variável e isto, sem dúvida , foi a parte mais difícil da formalização matemática numa linguagem simbólica.
Mas essa linguagem começou a tomar forma por volta do século IV d.C., através do matemático Diofante de Alenxandria, que deu inicio à utilização de símbolos matemáticos para facilitar a escrita e os cálculos. Estes símbolos eram, geralmente, abreviações que expressavam quantidades e operações. Esta forma de representar argumentos na resolução de problemas, em que foram adotadas algumas abreviações, foi denominada “álgebra sincopada”.
O estilo sincopado foi utilizado também pelos algebristas italianos do século XVI. Por exemplo, a expressão “aebus p. rebus aequalis 20”, de
Gerônimo Cardano, seria uma forma sincopada de exprimir uma equação que na linguagem simbólica posterior correspondia a x3 + 6x =20.
Antes disso, os argumentos eram completamente escritos em palavras, ou seja, todos os passos relativos aos esquemas operatórios sobre números e equações eram descritos em linguagem corrente, sem abreviações, chamada de “álgebra retórica”, primitiva ou verbal.
Mesmo com a sincopação da álgebra grega, feita por Diofante, o resto do mundo continuou utilizando a álgebra retórica por centenas de anos. A própria Europa Ocidental a usou até o século XV. Da mesma forma aconteceu com a álgebra simbólica, que surgiu na França, mas só conseguiu impor seu estilo em grande parte do mundo, do meio do século XVII em diante.
A fase simbólica correspondia ao momento em que as idéias algébricas passam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrer ao uso de palavras.
Somente a partir do século XVI, a álgebra simbólica começou a ser formalizada pelas mãos do advogado e matemático amador François Viete, que ficou conhecido como o pai da Álgebra.
Viete escrevia “IQC – 15QQ + 85C - 225Q + 274N aequati 120” para
representar o que atualmente escrevemos como x5 -15x4 +85x3 -225x2 +274x =120. Seus foram René Descartes, Robert Record, Thomas Harriot e John Wallis.
No século XVII, o alemão Carl Friedrich Gauss, deu sua contribuição
à álgebra, demonstrando o seu teorema fundamental:”qualquer polinômio do grau n possui n raízes reais ou complexas”.
No século XIX, Niels Henrik Abel, apresentou seu parecer sobre as equações de grau 5 completas.
Por conseqüência, a álgebra entra na era moderna, com a teoria dos grupos, atribuída em parte a Gauss e sobretudo a Evariste Galois.
O nome Álgebra vem do árabe “al –jabr” , termo que para o matemático Al-Khwarizmi, do século IX, significava uma das regras utilizadas na resolução das equações de 1º e 2º graus. Daí a palavra álgebra designar, durante muitos anos, o estudo da resolução de equações, mas sobretudo a melhor tradução fosse a ciência das equações.
Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: na álgebra antiga, ou álgebra elementar, que é o estudo das equações e métodos para resolvê-las e na álgebra moderna ou abstrata, que é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos anéis e corpos .
Os antigos Egípcios, há cerca de dois mil anos antes de Cristo, usaram o método da falsa posição para determinar a solução da equação de primeiro grau. Este método foi utilizado durante muitos séculos. Aparece no “Líber Abaci” de Leonardo de Pisa (séculos XII – XIII), na “Summa de Arithmetica, Geometria, Prorportioni et Proportionalita” de Luca Pacioli.
De forma análoga, a resolução da equação de 2º grau, presente em inúmeros problemas da antiguidade, constituiu uma preocupação para os povos da antiga Babilônia e da antiga Grécia. Os Babilônios resolviam-nos consultando tabelas de quadrados e fazendo, quando necessário, um enquadramento adequado. Os gregos davam uma interpretação geométrica à equação de 2º grau, trabalhando com segmentos e áreas em vez de números. Os babilônios também conseguiram resolver alguns casos particulares de equações de 3º grau.
Ao longo dos séculos que precedem a renascença italiana, surgiram frequentemente equações de 1º, 2º e 3º graus, relacionadas com problemas que mereceram a atenção dos matemáticos.
A forma algébrica como linguagem, associada a sua simbologia, tem um tratamento sintático e semântico, ou seja , expressa uma sintaxe universal para uma semântica variável e isto, sem dúvida , foi a parte mais difícil da formalização matemática numa linguagem simbólica.
Mas essa linguagem começou a tomar forma por volta do século IV d.C., através do matemático Diofante de Alenxandria, que deu inicio à utilização de símbolos matemáticos para facilitar a escrita e os cálculos. Estes símbolos eram, geralmente, abreviações que expressavam quantidades e operações. Esta forma de representar argumentos na resolução de problemas, em que foram adotadas algumas abreviações, foi denominada “álgebra sincopada”.
O estilo sincopado foi utilizado também pelos algebristas italianos do século XVI. Por exemplo, a expressão “aebus p. rebus aequalis 20”, de
Gerônimo Cardano, seria uma forma sincopada de exprimir uma equação que na linguagem simbólica posterior correspondia a x3 + 6x =20.
Antes disso, os argumentos eram completamente escritos em palavras, ou seja, todos os passos relativos aos esquemas operatórios sobre números e equações eram descritos em linguagem corrente, sem abreviações, chamada de “álgebra retórica”, primitiva ou verbal.
Mesmo com a sincopação da álgebra grega, feita por Diofante, o resto do mundo continuou utilizando a álgebra retórica por centenas de anos. A própria Europa Ocidental a usou até o século XV. Da mesma forma aconteceu com a álgebra simbólica, que surgiu na França, mas só conseguiu impor seu estilo em grande parte do mundo, do meio do século XVII em diante.
A fase simbólica correspondia ao momento em que as idéias algébricas passam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrer ao uso de palavras.
Somente a partir do século XVI, a álgebra simbólica começou a ser formalizada pelas mãos do advogado e matemático amador François Viete, que ficou conhecido como o pai da Álgebra.
Viete escrevia “IQC – 15QQ + 85C - 225Q + 274N aequati 120” para
representar o que atualmente escrevemos como x5 -15x4 +85x3 -225x2 +274x =120. Seus foram René Descartes, Robert Record, Thomas Harriot e John Wallis.
No século XVII, o alemão Carl Friedrich Gauss, deu sua contribuição
à álgebra, demonstrando o seu teorema fundamental:”qualquer polinômio do grau n possui n raízes reais ou complexas”.
No século XIX, Niels Henrik Abel, apresentou seu parecer sobre as equações de grau 5 completas.
Por conseqüência, a álgebra entra na era moderna, com a teoria dos grupos, atribuída em parte a Gauss e sobretudo a Evariste Galois.
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