Os babilônios possuíam um sistema de numeração que utilizava sessenta algarismos distintos, de 0 a 59. Para compor esses símbolos, utilizavam agrupamentos de dez em dez, (base dez), com característica aditiva e de forma posicional, ou seja, a posição em que os símbolos se situavam poderia alterar a quantidade representada, utilizando caracteres
sob a forma de cunhas (representação cuneiformes). Possuíam o conceito do zero, como representação de nenhuma quantidade, indicando-a com um espaço vazio.
Já os Egípcios possuíam um sistema de numeração baseado em agrupamentos de símbolos: Hieróglifos, para as escritas sagradas, e Hieráticos, para as demais representações mais simples, como o comércio, etc. Também possuíam como os Babilônios um sistema de numeração decimal e aditivo, porém não posicional e baseado em números chaves (1,10,100,1000,100000), que podiam ser escritos da esquerda para a direita, da direita para a esquerda ou na vertical, em que todas as operações envolvendo números eram efetuadas através de uma adição.
Já os Gregos possuíam um sistema de numeração representado pelas letras do seu alfabeto (com 24 caracteres), que, como os Egípcios, também foram representadas através de símbolos hieróglifos e não posicionais. Os Gregos, como os Babilônios e os Egípcios, utilizavam sistemas decimais aditivos em sua representações numéricas; entretanto, para efetuar operações matemáticas, fizeram o uso de ábacos e não de algarismos como os demais povos.
O nosso sistema de numeração (Indu –Arábico) recebeu influência e herdou características relevantes dos povos Babilônios, Egípcios e Gregos.
Dos Babilônios herdou a base 60 como forma de representação do tempo (1 hora = 60 minutos, 1 minuto = 60 segundos), a divisão da circunferência em 360º e a forma posicional de representar símbolos.
Dos demais povos, herdou a base decimal, a forma aditiva, a multiplicativa e a utilização do zero para representar nenhuma quantidade.
domingo, 11 de outubro de 2009
sexta-feira, 9 de outubro de 2009
Lista P.A , P.G. Vestibulares
Boa noite pessoal , segue a lista de vestibulares
1)(Mauá-SP) Os dois primeiros termos de uma P.A.são (2,1/2,....).A soma dos vinte primeiros termos será:
a)-245 b)542 c)254 d)245 e)-254
2)(FGV-SP)Em um triângulo ,os três ângulos estão em P.A e o maior deles é o dobro do menor.O valor do menor em graus será:
a)25 b)45 c)50 d)30 e)40
3)(FEI-SP)O número de termos positivos múltiplos de 7 e menores que 1000 será:
a)140 b)142 c)132 d)130 e)124
4)(PUC-SP)Sendo 47 o décimo sétimo termo de uma P.A. e 2,75 a razão o primeiro termo deve ser:
a)4 b)5 c)3 d)6 e)7
5)(FATEC-SP)Em uma P.A a soma do terceiro com o sétimo termos vale 30 e a soma dosdoze primeiros termos vale 216.A razão desta P.A será:
a)3 b)2 c)4 d)9 e)8
6)(FGV-SP)A soma dos cinquenta primeiros termos de uma P.A.na qual o sexto termo mais o quadragésimo quinto termo é 160 deve ser:
a)4000 b)5000 c)3000 d)6000 e)8000
7)(UFRS)Sabendo que (An ) é uma P.A.de razão 3 e (Bn ) é uma P.G.de razão 1/2 A6 =b1 e A3 = b2 então a1 + b1 é:
a)21 b)18 c)-31 d)-4 e)4
8)(FGV-SP)A razão de uma P.A é igual a 8% do primeiro termo.Sabendo que a11 =36 então S26 deve ser:
a)1080 b)1060 c)1092 d)1020 e)1040
9)(STA-CASA)A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A é -15.A soma do sexto termo com o décimo quinto termo deve ser:
a)3 b)1 c)1,5 d)-1,5 e)-3
10)(ITA-SP)O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma P.A pertence ao intervalo:
a)[-2,-1] b)[-1,0] c)[0,1] d)[1,2] e)[2,3]
11)(F.Porto Alegre-RS)Numa P.A. crescente a20 =185 e a10 =95 então a1 deve ser:
a)10 b)18 c)14 d)23 e)15
12)(Fuvest-SP) Em uma P.A. de termos positivos, os três primeiros são 1-a,-a, 11-a . O quarto termo deve ser:
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
13)(UNIFOR-CE)Uma P.A. tem a6 =26 e a8 = 38 logo o valor de S10 será:
a)230 b)210 c)420 d)460 e)500
14)(UE-CE)Seja uma P.A.onde a4/a7 =2/5 e a4 + a7 =42 então a3.a5 deve ser:
a)72 b)108 c)144 d)180 e)216
15)(FABRAI-MG)O valor de 1 + 2 + 3 +...........+ 999 +1000 deve ser:
a)600000 b)500000 c)520000 d)501000 e)500500
16)(UF-AL)O termo da seqüência (3,9,27...) deve ser:
a)317 b)321 c)318 d)321 e)320
17)(F.E.Q)Na P.G.a1 = 1 e a7 =8 logo a9 deve ser:
a)32 b)24 c)16 d)8 e)32
18)(UF-SE)Numa P.G a2 =-2 e a5 =16 a razão deve ser:
a)4 b)3 c)2 d)-2 e)-3
19)(F.P.A)A seqüência (a,b,c) é uma P.G. crescente e a.b.c =64. O valo de b deve ser:
a)4 b)3 c)8 d)16 e)6
20)(UF-RS)Em uma P.G. de razão positiva a2 =8 e a8 =1/8 a soma dos dois primeiros termos deve ser:
a)12 b)16 c)24 d)8 e)4
21)(UNIFOR-CE)O trigésimo termo da seqüência (1/2,1/6,1/18,.....) deve ser:
a)1/629 b)1/2.339 c)5 d)61/3 e)29/6
22)(F.P.A)A soma da P.G.(8,4,2,....) é um número composto de dois algarismos cuja soma deve ser:
a)7 b)12 c)15 d)3 e)9
23)(UFBA)Sendo (40,x,y,5,...) uma P.G.de razão q e (q,8-a,7/2) uma P.A. O valor de a é:
a)19/4 b)21/4 c)43/4 d)6 e)7
24)(FEI-SP)A solução da equação x + x/3 + x/9 +x/27 +......=60 deve ser:
a)1 b)40 c)-40 d)-1 e)30
25)(UFCE) Seja x e y números positivos.Se os números 3,x,y formam nesta ordem uma P.G. e os números x,y,9 formam nesta ordem uma P.A. então x+y deve ser:
a)43/4 b)45/4 c)47/4 d)49/4 e)51/4
26)(PUC-SP)O terceiro e o sétimo termos de uma P.G.valem respectivamente 10 e 18.O quinto termo vale:
a)14 b)7 c)30 d)40 e) 6 5
27)(Uesb-BA)Se (x,x+2,x+1,....) é uma P.G o quarto termo deve ser:
a)1/6 b)-1/6 c)-1/3 d)-1/2 e)1/2
28)(Ouro Preto –MG)Numa P.G. a1 =5 e An=2560 e q =2.A soma será:
a)4760 b)5120 c)5115 d)4775 e)4770
29)(FUNREI-MG)Numa P.G.infinita a1 =15 e a razão é 2/3 .A soma dos termos de ordem ímpar deve ser:
a)54 b)45 c)36 d)27 e)18
30)(FAFI-MG)Uma P.A e uma P.G. tem em comum suas razões que valem 3 e seu sexto termos que vale 243. O produto entre o primeiro termo da P.G e o terceiro termo da P.A. deve ser:
a)231 b)234 c)237 d)693 e)702
Gabarito
1)a 11)c 21)b
2)e 12)b 22)a
3)b 13)a 23)d
4)c 14)b 24)b
5)b 15)e 25)b
6)a 16)c 26)e
7)a 17) c 27)a
8)e 18)d 28)c
9)d 19)a 29)d
10)b 20)c 30)b
1)(Mauá-SP) Os dois primeiros termos de uma P.A.são (2,1/2,....).A soma dos vinte primeiros termos será:
a)-245 b)542 c)254 d)245 e)-254
2)(FGV-SP)Em um triângulo ,os três ângulos estão em P.A e o maior deles é o dobro do menor.O valor do menor em graus será:
a)25 b)45 c)50 d)30 e)40
3)(FEI-SP)O número de termos positivos múltiplos de 7 e menores que 1000 será:
a)140 b)142 c)132 d)130 e)124
4)(PUC-SP)Sendo 47 o décimo sétimo termo de uma P.A. e 2,75 a razão o primeiro termo deve ser:
a)4 b)5 c)3 d)6 e)7
5)(FATEC-SP)Em uma P.A a soma do terceiro com o sétimo termos vale 30 e a soma dosdoze primeiros termos vale 216.A razão desta P.A será:
a)3 b)2 c)4 d)9 e)8
6)(FGV-SP)A soma dos cinquenta primeiros termos de uma P.A.na qual o sexto termo mais o quadragésimo quinto termo é 160 deve ser:
a)4000 b)5000 c)3000 d)6000 e)8000
7)(UFRS)Sabendo que (An ) é uma P.A.de razão 3 e (Bn ) é uma P.G.de razão 1/2 A6 =b1 e A3 = b2 então a1 + b1 é:
a)21 b)18 c)-31 d)-4 e)4
8)(FGV-SP)A razão de uma P.A é igual a 8% do primeiro termo.Sabendo que a11 =36 então S26 deve ser:
a)1080 b)1060 c)1092 d)1020 e)1040
9)(STA-CASA)A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A é -15.A soma do sexto termo com o décimo quinto termo deve ser:
a)3 b)1 c)1,5 d)-1,5 e)-3
10)(ITA-SP)O valor de n que torna a seqüência (2+3n,-5n,1-4n) uma P.A pertence ao intervalo:
a)[-2,-1] b)[-1,0] c)[0,1] d)[1,2] e)[2,3]
11)(F.Porto Alegre-RS)Numa P.A. crescente a20 =185 e a10 =95 então a1 deve ser:
a)10 b)18 c)14 d)23 e)15
12)(Fuvest-SP) Em uma P.A. de termos positivos, os três primeiros são 1-a,-a, 11-a . O quarto termo deve ser:
a)2 b)3 c)4 d)5 e)6
13)(UNIFOR-CE)Uma P.A. tem a6 =26 e a8 = 38 logo o valor de S10 será:
a)230 b)210 c)420 d)460 e)500
14)(UE-CE)Seja uma P.A.onde a4/a7 =2/5 e a4 + a7 =42 então a3.a5 deve ser:
a)72 b)108 c)144 d)180 e)216
15)(FABRAI-MG)O valor de 1 + 2 + 3 +...........+ 999 +1000 deve ser:
a)600000 b)500000 c)520000 d)501000 e)500500
16)(UF-AL)O termo da seqüência (3,9,27...) deve ser:
a)317 b)321 c)318 d)321 e)320
17)(F.E.Q)Na P.G.a1 = 1 e a7 =8 logo a9 deve ser:
a)32 b)24 c)16 d)8 e)32
18)(UF-SE)Numa P.G a2 =-2 e a5 =16 a razão deve ser:
a)4 b)3 c)2 d)-2 e)-3
19)(F.P.A)A seqüência (a,b,c) é uma P.G. crescente e a.b.c =64. O valo de b deve ser:
a)4 b)3 c)8 d)16 e)6
20)(UF-RS)Em uma P.G. de razão positiva a2 =8 e a8 =1/8 a soma dos dois primeiros termos deve ser:
a)12 b)16 c)24 d)8 e)4
21)(UNIFOR-CE)O trigésimo termo da seqüência (1/2,1/6,1/18,.....) deve ser:
a)1/629 b)1/2.339 c)5 d)61/3 e)29/6
22)(F.P.A)A soma da P.G.(8,4,2,....) é um número composto de dois algarismos cuja soma deve ser:
a)7 b)12 c)15 d)3 e)9
23)(UFBA)Sendo (40,x,y,5,...) uma P.G.de razão q e (q,8-a,7/2) uma P.A. O valor de a é:
a)19/4 b)21/4 c)43/4 d)6 e)7
24)(FEI-SP)A solução da equação x + x/3 + x/9 +x/27 +......=60 deve ser:
a)1 b)40 c)-40 d)-1 e)30
25)(UFCE) Seja x e y números positivos.Se os números 3,x,y formam nesta ordem uma P.G. e os números x,y,9 formam nesta ordem uma P.A. então x+y deve ser:
a)43/4 b)45/4 c)47/4 d)49/4 e)51/4
26)(PUC-SP)O terceiro e o sétimo termos de uma P.G.valem respectivamente 10 e 18.O quinto termo vale:
a)14 b)7 c)30 d)40 e) 6 5
27)(Uesb-BA)Se (x,x+2,x+1,....) é uma P.G o quarto termo deve ser:
a)1/6 b)-1/6 c)-1/3 d)-1/2 e)1/2
28)(Ouro Preto –MG)Numa P.G. a1 =5 e An=2560 e q =2.A soma será:
a)4760 b)5120 c)5115 d)4775 e)4770
29)(FUNREI-MG)Numa P.G.infinita a1 =15 e a razão é 2/3 .A soma dos termos de ordem ímpar deve ser:
a)54 b)45 c)36 d)27 e)18
30)(FAFI-MG)Uma P.A e uma P.G. tem em comum suas razões que valem 3 e seu sexto termos que vale 243. O produto entre o primeiro termo da P.G e o terceiro termo da P.A. deve ser:
a)231 b)234 c)237 d)693 e)702
Gabarito
1)a 11)c 21)b
2)e 12)b 22)a
3)b 13)a 23)d
4)c 14)b 24)b
5)b 15)e 25)b
6)a 16)c 26)e
7)a 17) c 27)a
8)e 18)d 28)c
9)d 19)a 29)d
10)b 20)c 30)b
Lista de P.G.
Boa noite Pessoal segue a lista de P.G.
Lista de Exercícios (P G) (Profº : Rogério)
1)Qual a razão da P.G (5,15,45,.)?
2)Qual a razão da P.G( ½,1/6,...)?
3)Qual o sétimo termo da P.G (3,9,27...)?
4)Qual a razão e o sexto termo da P.G. (-2,8,....)?
5)Determine o oitavo termo de uma P.G na qual a4 =12 e q = 2.
6)Se o primeiro termo de uma P.G. é a1=10-3 e a razão é 10², escreva os quatro primeiros termos dessa P.G.
7)Escreva a P.G. de cinco termos, na qual a1 = 180 e q = 1/3.
8)Qual é o sétimo termo da P.G.(2,6....)?
9)Calcule o primeiro termo de uma P.G.em que a4 = 375 e q = 5
10)Numa P.G o primeiro termo é 3 e o quinto termo é 30000.Qual o valor da razão?
11)Quantos termos possui a P.G. (8,32,.....,231) ?
12)Determine o valor de X de modo que os números X +1 ,X+4 e X+10 formem nesta ordem uma P.G.
13)Numa P.G. o terceiro termo é 3 e o quinto termo é 48 .Qual o valor do quarto termo?
14)Numa P.G. o quinto termo é 32 e o oitavo termo é 256. Qual o primeiro termo desta P.G ?
15)Três números estão em P. G de forma que o produto é 729 e a soma é 39.Quais estes números?
16)Qual o sexto termo de uma P.G. em que a1 = 512 e sua razão é ½ ?
17)Qual é a razão de uma P.G em que a1 = 4 e a4 = 4000?
18)Determine a soma dos termos da P.G.(2,22,....,210)
19)A soma dos termos de uma P.G.finita é 728. Sabendo-se que An = 486 e q = 3 qual o primeiro termo ?
20)Calcule o valor de x na igualdade 10x +20x +.... +1280x = 7650, sabendo que os termos do 1º membro formam uma P.G.
21)Se os termos (X-2 , 2X + 2 ,8X + 8,...)estão em P.G. determine o sexto termo com razão positiva.
22)Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., sabendo que o quinto termo é 162 e que a razão é igual a 3.
23)Determinar o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 3 ,q = 2 e Sn = 3069.
24)Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (1,3,9,...)
25)Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2,4,8,...)
26)Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma P.G. em que o quinto termo é – 81 e a razão é 3.
27)Calcule a soma da P .G infinita (1/2,1/6,1/18,.....).
28)Calcule a soma da P.G infinita (1,1/10,.....).
29)Obtenha o produto dos dez termos iniciais da P.G. (81,27,.....)
30)Numa P .G onde o primeiro termo é 1 e a razão é 2, a soma de seus termos é 2047 e o produto de seus termos é 255.Quantos termos possui esta P.G?
Gabarito
1)3 11)15 21)3072
2) 1/3 12)2 22)242
3)2187 13)±12 23) 10
4)-4 e 2048 14)2 24) 1093
5)192 15)(3,9,27) 25) 510
6)(10-3,10-1,10,103) 16)16 26)-121
7)(180,60,20,20/3) 17)10 27)3/4
8)1458 18)2046 28)10/9
9)3 19)2 29) 3-5
10)10 20)3 30) 11
Lista de Exercícios (P G) (Profº : Rogério)
1)Qual a razão da P.G (5,15,45,.)?
2)Qual a razão da P.G( ½,1/6,...)?
3)Qual o sétimo termo da P.G (3,9,27...)?
4)Qual a razão e o sexto termo da P.G. (-2,8,....)?
5)Determine o oitavo termo de uma P.G na qual a4 =12 e q = 2.
6)Se o primeiro termo de uma P.G. é a1=10-3 e a razão é 10², escreva os quatro primeiros termos dessa P.G.
7)Escreva a P.G. de cinco termos, na qual a1 = 180 e q = 1/3.
8)Qual é o sétimo termo da P.G.(2,6....)?
9)Calcule o primeiro termo de uma P.G.em que a4 = 375 e q = 5
10)Numa P.G o primeiro termo é 3 e o quinto termo é 30000.Qual o valor da razão?
11)Quantos termos possui a P.G. (8,32,.....,231) ?
12)Determine o valor de X de modo que os números X +1 ,X+4 e X+10 formem nesta ordem uma P.G.
13)Numa P.G. o terceiro termo é 3 e o quinto termo é 48 .Qual o valor do quarto termo?
14)Numa P.G. o quinto termo é 32 e o oitavo termo é 256. Qual o primeiro termo desta P.G ?
15)Três números estão em P. G de forma que o produto é 729 e a soma é 39.Quais estes números?
16)Qual o sexto termo de uma P.G. em que a1 = 512 e sua razão é ½ ?
17)Qual é a razão de uma P.G em que a1 = 4 e a4 = 4000?
18)Determine a soma dos termos da P.G.(2,22,....,210)
19)A soma dos termos de uma P.G.finita é 728. Sabendo-se que An = 486 e q = 3 qual o primeiro termo ?
20)Calcule o valor de x na igualdade 10x +20x +.... +1280x = 7650, sabendo que os termos do 1º membro formam uma P.G.
21)Se os termos (X-2 , 2X + 2 ,8X + 8,...)estão em P.G. determine o sexto termo com razão positiva.
22)Calcular a soma dos cinco primeiros termos de uma P.G., sabendo que o quinto termo é 162 e que a razão é igual a 3.
23)Determinar o número de termos de uma P.G. finita em que a1 = 3 ,q = 2 e Sn = 3069.
24)Calcule a soma dos sete primeiros termos da P.G. (1,3,9,...)
25)Calcule a soma dos oito primeiros termos da P.G. (2,4,8,...)
26)Determine a soma dos cinco primeiros termos de uma P.G. em que o quinto termo é – 81 e a razão é 3.
27)Calcule a soma da P .G infinita (1/2,1/6,1/18,.....).
28)Calcule a soma da P.G infinita (1,1/10,.....).
29)Obtenha o produto dos dez termos iniciais da P.G. (81,27,.....)
30)Numa P .G onde o primeiro termo é 1 e a razão é 2, a soma de seus termos é 2047 e o produto de seus termos é 255.Quantos termos possui esta P.G?
Gabarito
1)3 11)15 21)3072
2) 1/3 12)2 22)242
3)2187 13)±12 23) 10
4)-4 e 2048 14)2 24) 1093
5)192 15)(3,9,27) 25) 510
6)(10-3,10-1,10,103) 16)16 26)-121
7)(180,60,20,20/3) 17)10 27)3/4
8)1458 18)2046 28)10/9
9)3 19)2 29) 3-5
10)10 20)3 30) 11
Lista de exercícios de sequência e P.A
Boa tarde pessoal segue a lista de sequência e P.A.
Lista de Exercícios (Professor : Rogério)
1)Quais os quatro primeiros termos de uma seqüência cuja lei de formação é dada por An = n4 –n2 .
2)Qual o termo geral da sequência (3,6,9,12,15,18)?
3)Considere a sequência cujo termo geral é An = 2n - 1 .Qual é o termo que tem seu valor entre 30 e 40?
4)Qual a razão da P.A. (-13,-20,...)?
5)Qual a razão da P.A. (-2,8,....)?
6)Qual a razão da P.A. (2, 2/3,....)?
7)Qual o vigésimo termo da P.A. (4,8,....)?
8)Qual o trigésimo primeiro termo da P.A.( 1,-6,....)?
9)Qual o primeiro termo de uma P.A. em que a10=39 e r = 4?
10)Numa P.A.de quatorze termos , o primeiro termo é 2 e o último termo é 28.Qual a razão desta P.A.?
11)Numa P.A. crescente a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35.Qual a razão desta P.A.?
12)A soma dos três primeiros termos de uma P.A é 18 e o produto entre eles é 66.Quais as possíveis P.A.s?
13)A soma dos três primeiros termos de uma P.A é 24 e o produto entre eles é 120.Quais as possíveis P.A.s?
14)Quantos termos tem a P.A. finita (-10,-4,.....,44)?
15)Numa P.A a1 = 16 e a3 = 26 .Qual o décimo termo desta P.A.?
16)Numa P.A. crescente de seis termos os dois primeiros termos são as raízes da equação x2 -10x +24 =0.Qual o último termo desta p.A.?
17)Se (x-1,3x-1,x-3) formam nesta ordem uma P.A. .Qual seu décimo nono termo?
18)Se (x2 , x +5 ,3x + 4)é uma P.A.Quais os possíveis valores de r?
19)Numa P.A. o seu último termo é 16 e a2 + a4 = 12 e a5 =10.Quantos termo possui esta P.A.?
20)Dada a P.A (-9,-6,.....,81).Determine os termos desta P.A.
21)Dada a P.A (2,6,.....) determine a soma dos 50 primeiros termos desta P.A.
22)Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A (-8,-12,....).
23)A soma dos dez primeiros termos de uma P.A é 200.Se a1 = 2 qual sua razão?
24)Determine o valor de x na igualdade 2 + 7 +...... +2x =198 se a1 = 2 e a2=7.
25)A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A. finita é 710. Se a1 =7 qual seu décimo termo?
26)Determine a soma dos doze primeiros termos da P.A.( x-1,x +2, 2x +2 ).
27)Numa P.A a2 + a5 = 16 e a10 =21. Qual a soma dos dez primeiros termos?
28)Qual a soma dos termos da P.A. (2,4,....., 512)?
29)A soma dos termos da P.A (3,6,......,30) é 165.Quantos temos possui esta P.A?
30)Uma escada maciça possui 10 degraus .cada degrau é uma paralelepípedo cujas dimensões são 50 cm de comprimento ,20 cm de largura e 10 cm de altura .Qual o volume desta escada?
Gabarito
1)(0,12,72,240) 11) 3 21) 5000
2) 3n 12)(1,6,11) (11,6,1) 22) -1980
3)A5 13)(1,8,15) (15,8,1) 23) 4
4)-7 14) 10 24) 21
5)10 15) 61 25) 34
6) -4/3 16) 14 26)222
7)80 17)-39/2 27)120
8)-209 18) 3 e -7 28)65792
9)3 19) 8 29) 10
10) 2 20) 31 30)550000cm3
Lista de Exercícios (Professor : Rogério)
1)Quais os quatro primeiros termos de uma seqüência cuja lei de formação é dada por An = n4 –n2 .
2)Qual o termo geral da sequência (3,6,9,12,15,18)?
3)Considere a sequência cujo termo geral é An = 2n - 1 .Qual é o termo que tem seu valor entre 30 e 40?
4)Qual a razão da P.A. (-13,-20,...)?
5)Qual a razão da P.A. (-2,8,....)?
6)Qual a razão da P.A. (2, 2/3,....)?
7)Qual o vigésimo termo da P.A. (4,8,....)?
8)Qual o trigésimo primeiro termo da P.A.( 1,-6,....)?
9)Qual o primeiro termo de uma P.A. em que a10=39 e r = 4?
10)Numa P.A.de quatorze termos , o primeiro termo é 2 e o último termo é 28.Qual a razão desta P.A.?
11)Numa P.A. crescente a2 + a6 = 20 e a4 + a9 = 35.Qual a razão desta P.A.?
12)A soma dos três primeiros termos de uma P.A é 18 e o produto entre eles é 66.Quais as possíveis P.A.s?
13)A soma dos três primeiros termos de uma P.A é 24 e o produto entre eles é 120.Quais as possíveis P.A.s?
14)Quantos termos tem a P.A. finita (-10,-4,.....,44)?
15)Numa P.A a1 = 16 e a3 = 26 .Qual o décimo termo desta P.A.?
16)Numa P.A. crescente de seis termos os dois primeiros termos são as raízes da equação x2 -10x +24 =0.Qual o último termo desta p.A.?
17)Se (x-1,3x-1,x-3) formam nesta ordem uma P.A. .Qual seu décimo nono termo?
18)Se (x2 , x +5 ,3x + 4)é uma P.A.Quais os possíveis valores de r?
19)Numa P.A. o seu último termo é 16 e a2 + a4 = 12 e a5 =10.Quantos termo possui esta P.A.?
20)Dada a P.A (-9,-6,.....,81).Determine os termos desta P.A.
21)Dada a P.A (2,6,.....) determine a soma dos 50 primeiros termos desta P.A.
22)Calcule a soma dos 30 primeiros termos da P.A (-8,-12,....).
23)A soma dos dez primeiros termos de uma P.A é 200.Se a1 = 2 qual sua razão?
24)Determine o valor de x na igualdade 2 + 7 +...... +2x =198 se a1 = 2 e a2=7.
25)A soma dos vinte primeiros termos de uma P.A. finita é 710. Se a1 =7 qual seu décimo termo?
26)Determine a soma dos doze primeiros termos da P.A.( x-1,x +2, 2x +2 ).
27)Numa P.A a2 + a5 = 16 e a10 =21. Qual a soma dos dez primeiros termos?
28)Qual a soma dos termos da P.A. (2,4,....., 512)?
29)A soma dos termos da P.A (3,6,......,30) é 165.Quantos temos possui esta P.A?
30)Uma escada maciça possui 10 degraus .cada degrau é uma paralelepípedo cujas dimensões são 50 cm de comprimento ,20 cm de largura e 10 cm de altura .Qual o volume desta escada?
Gabarito
1)(0,12,72,240) 11) 3 21) 5000
2) 3n 12)(1,6,11) (11,6,1) 22) -1980
3)A5 13)(1,8,15) (15,8,1) 23) 4
4)-7 14) 10 24) 21
5)10 15) 61 25) 34
6) -4/3 16) 14 26)222
7)80 17)-39/2 27)120
8)-209 18) 3 e -7 28)65792
9)3 19) 8 29) 10
10) 2 20) 31 30)550000cm3
Lista de exercicios números complexos
Boa tarde pessoal , segue a lista de números complexos
Exercícios de Números Complexos
1)Determine K Î R, de modo que Z = ½ + (-2k² -7k -3)i seja um número real.
2)Determine NÎ R , de modo que Z = (-m² -m + 6 ) + 2i seja imaginário puro.
3)Determine x e y reais de modo que x3 -4y² i = -27 + (3y -1)i .
4)Dados os números complexos Z1 = 4-3i ,Z2 =-1-5i e Z3 =-4 -7i determine:
a)Z1 –Z2-Z3 b)(i +Z1) –(Z2 + Z3) c)Z1 + 2(Z1.Z3) d)(Z1/Z3)-2 + (Z2/Z1)-1
5)Qual é o valor de [Ö2/2(1 + i ) ]2 ?
6)Quais os possíveis valores de x e y que satisfazem a igualdade ( x +yi)² = 4i ?
7)Qual o valor de i25+ i39- i108 + i . i50 ?
8)Se o módulo de um número complexo Z = x + 6i é 10 qual o valor de x?
9)Resolva a equação x² +2x + 4 = 0 e determine a forma trigonométrica de suas raízes.
10)Calcule o módulo do complexo Z = (3 +4i) – (2-i) +4.
11)Determine a característica do complexo Z = 5 + 5i
2-2i
12)Escreva na forma trigonométrica o complexo Z = 2 + 2Ö3 i.
13)Escreva na forma algébrica o complexo Z = (cos 11p/6 +i sen11p/6).
14)A forma mais simples do numero complexo Z =2-2i /2 + 2i deve ser:
15)Se Z =1 + Ö 3 i calcule (Z)²
2
16) Se Z1 =7 – 2i e Z2 = -3 + 5i calcule │ Z1 + Z2 │.
17)Determine Z , ZÎ C, tal que :
a)Z² =2i b)Z²=-16 c)Z² -2 Z = -1 +i d)Z( 1+ i) + Z (2-i) = 3-3i e) Z – 3(1+3i) = 3(Z ) +5-6i
18)No universo dos complexos , qual será a solução 1- x 2 0
1 5 3 = 0
x-1 1 x
19)O determinante 1 i 1
i 1 i define um número complexo .Determine o módulo deste complexo.
1+i 1-i 0
20)O gráfico abaixo representa uma função de segundo grau.Determine suas raízes e módulos.
y
20
16
2 X
21)(UFRS) A forma a + bi de Z = ( 1 + 2 i)/ (1-i ) é:
a)1/2 +3i/2 b)-1/2 +3i/2 c)-1/2 -2i/3 d) -1/2 -2i/3 e)1/2 -3i/2
22)(FEI-SP)Se 2i / Z = 1 +i então o complexo Z é :
a)1-2i b)-1-i c)1-i d)1 +2i e)-1 +2i
23)(FEI-SP)Se a = 1+2i ,b =2-i e (a/b) + (b/c) =0, então o número complexo c é:
a)2i b)1-2i c)2-i d)1+2i e)3i
24)(MACK-SP) (1 +i / 1-i)102 ,i =Ö-1 , é igual a :
a)i b)-i c)1 d)1+i e)3i
25)(UFRJ-RJ)Sendo a =2 +4i e b=1-3i, o valor de │a / b │ é:
a)Ö3 b)Ö2 c)Ö5 d)2Ö2 e)1 +Ö2
26)(UEL –PR) O argumento principal do número complexo Z= -1 +iÖ3 é:
a)11p/6 b)5p/3 c)7p/6 d)5p/6 e)2p/3
27)(PUC-SP) O conjugado do complexo 1 +3i/2-1 deve ser:
a) -1/5 +7i/5 b)-1/5 -7i/5 c)1/5 +7i/5 d)1/5-7i/5 e)2i
28)(PUC –MG) O produto ( x +yi)(2 +3i) é um número real quando x e y são reais e ;
a)x-3y=0 b)2x-3y=0 c)2z+3y=0 d)2x+2y=0 e)3x +2y=0
29)(Fesp-SP) O módulo de ( 1 +i)² / (3 +4i) é:
a)3/25 b)4/25 c)3/5 d)4/5 e)2/5
30)(Fuvest-SP) É dado o número complexo W = cosp/3 + i senp/3.O valor de W + W² +W3 +W4 +W5 será:
a)-2 b)-3 c)-1 d)-5 e)-7
31)(Fuvest-SP)Sabendo-se que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2 +i /a +2i =0,
então a é:
a)-4 b)-2 c)1 d)2 e)4
32)(Fuvest-SP)Dado o número complexo Z = Ö3 + i , o menor valor do inteiro n ³ 1para qual Zn é um número real será:
a)8 b)6 c)12 d)4 e)5
33)(Puc-RS)Se Z é um número complexo e Z é o seu conjugado Z .Z será:
a)│Z│² b)│Z│ c)Z² d)Z e)
34)(Fei-SP)Se 2i/Z=1 +i ,então o número complexo Z é:
a)1-2i b)-1 +i c)1-i d)1+i e)-1+ 2i
35)(Makenzie-SP)Z= ÖX +ÖY i, com X e Y reais positivos, é um número complexo tal que Z² =4i.Então │Z│vale:
a)1 b)2 c)4 d)6 e)8
36)(Puc-RJ)se i = Ö-1 , então a soma i0 + i1 + i² + ....i200 é igual a :
a)i b)1 c)2i d)i20.301 e)-i
37)(URRN)Se Z = ( 1 + i )²/1-i , então o argumento de Z será:
a)-3p/4 b)-p/4 c)p/4 d)p/2 e)3p/4
38)(PUC-MG)A medida do menor ângulo positivo que usa na forma trigonométrica do número complexo 1-Ö3.i, em radianos ,é:
a)5p/3 b)p/2 c)2p/3 d)4p/3 e)p/3
39)(UFV-MG)Se Z é um número complexo tal que │Z-3 │ =│Z -7│=│Z-3i│, então é correto afirmar que:
a)Re(z) ñ 5 b)Im(z)á 5 c)│Z│=2Ö5 d)│Z│=5Ö2 e)Z=5 – 5i
40)(Unesp)O valor da expressão i101 .(1-i)46(1 + i)-44 , com i =Ö-1 deve ser:
a)1 b)8 c)4 d)6 e)2
41)(Fuvest-SP)O produto de (5 +7i ) por (3-2i) vale:
a)1 +11i b)1 +31i c)29+11i d)29-11i e)29+31i
42)(AMAN-RJ)Considere todos os números complexos Z = x + yi , ode x ÎR e yÎR e i = Ö-1 tais que
│Z -Ö-1 │£ │Ö2/ 1+i │.Sobre esses números complexos é correto afirmar:
a)nenhum deles é imaginário puro
b)existe algum número real positivo
c)são todos imaginários
d)apenas um número é real
e)nenhum é real
43)(ITA-SP)A soma das raízes de Z3 + Z² -│Z│ + 2 Z= 0 é :
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2
44)(ITA-SP)O número complexo 2 +i é raiz do polinômio f (x ) = x4 + x3 + px² + x +q com p, q Î R.Então , a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes de f é :
a)4 b)-4 c)6 d)5 e)-5
45)(ITA-SP)Considere a equação 16 ( 1-ix/1 +ix )3 = ( 1 + i/1-i -1-i /1 +i )4.Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é:
a)3 b)6 c)9 d)12 e)15
Gabarito
1) -3 e -1/2 16)5
2) -3 e 2 17) a)1+i,1-i b)4i,-4i c)Ö2/2 +1 +Ö2/2i d)3+3i e)-4+3i/4
3) x=-3 y = -1 e y = 1/4 18)6/5-3i/5 e 6/5+3i/5
4) a)9+9i b)9+10i c)-70-35i d)81-93i/130 19)2Ö2
5)i 20)2+4i,2-4i │z1 │=│z2 │=2Ö5
6)x=y=Ö2 e x=y=-Ö2 21)b
7)-1-i 22)d
8)8 23)d
9) z=2(cos2p/3+isen2p/3) z=2(cos4p/3+isen4p/3) 24)e
10)5Ö2 25)b
11) imaginário puro 26)e
12)z=4(cosp/3+isenp/3) 27)b
13)z=Ö3/2-i/2 28)e
14)-i 29)e
15)-1/2+Ö3i/2 30)c
31)e
32)b
33)a
34)d
35)b
36)b
37)e
38)a
39)d
40)e
41)c
42)d
43)a
44)e
45)b
35)b
36)b
37)e
38)a
39)d
40)e
41)c
42)d
43)a
44)e
45)b
Exercícios de Números Complexos
1)Determine K Î R, de modo que Z = ½ + (-2k² -7k -3)i seja um número real.
2)Determine NÎ R , de modo que Z = (-m² -m + 6 ) + 2i seja imaginário puro.
3)Determine x e y reais de modo que x3 -4y² i = -27 + (3y -1)i .
4)Dados os números complexos Z1 = 4-3i ,Z2 =-1-5i e Z3 =-4 -7i determine:
a)Z1 –Z2-Z3 b)(i +Z1) –(Z2 + Z3) c)Z1 + 2(Z1.Z3) d)(Z1/Z3)-2 + (Z2/Z1)-1
5)Qual é o valor de [Ö2/2(1 + i ) ]2 ?
6)Quais os possíveis valores de x e y que satisfazem a igualdade ( x +yi)² = 4i ?
7)Qual o valor de i25+ i39- i108 + i . i50 ?
8)Se o módulo de um número complexo Z = x + 6i é 10 qual o valor de x?
9)Resolva a equação x² +2x + 4 = 0 e determine a forma trigonométrica de suas raízes.
10)Calcule o módulo do complexo Z = (3 +4i) – (2-i) +4.
11)Determine a característica do complexo Z = 5 + 5i
2-2i
12)Escreva na forma trigonométrica o complexo Z = 2 + 2Ö3 i.
13)Escreva na forma algébrica o complexo Z = (cos 11p/6 +i sen11p/6).
14)A forma mais simples do numero complexo Z =2-2i /2 + 2i deve ser:
15)Se Z =1 + Ö 3 i calcule (Z)²
2
16) Se Z1 =7 – 2i e Z2 = -3 + 5i calcule │ Z1 + Z2 │.
17)Determine Z , ZÎ C, tal que :
a)Z² =2i b)Z²=-16 c)Z² -2 Z = -1 +i d)Z( 1+ i) + Z (2-i) = 3-3i e) Z – 3(1+3i) = 3(Z ) +5-6i
18)No universo dos complexos , qual será a solução 1- x 2 0
1 5 3 = 0
x-1 1 x
19)O determinante 1 i 1
i 1 i define um número complexo .Determine o módulo deste complexo.
1+i 1-i 0
20)O gráfico abaixo representa uma função de segundo grau.Determine suas raízes e módulos.
y
20
16
2 X
21)(UFRS) A forma a + bi de Z = ( 1 + 2 i)/ (1-i ) é:
a)1/2 +3i/2 b)-1/2 +3i/2 c)-1/2 -2i/3 d) -1/2 -2i/3 e)1/2 -3i/2
22)(FEI-SP)Se 2i / Z = 1 +i então o complexo Z é :
a)1-2i b)-1-i c)1-i d)1 +2i e)-1 +2i
23)(FEI-SP)Se a = 1+2i ,b =2-i e (a/b) + (b/c) =0, então o número complexo c é:
a)2i b)1-2i c)2-i d)1+2i e)3i
24)(MACK-SP) (1 +i / 1-i)102 ,i =Ö-1 , é igual a :
a)i b)-i c)1 d)1+i e)3i
25)(UFRJ-RJ)Sendo a =2 +4i e b=1-3i, o valor de │a / b │ é:
a)Ö3 b)Ö2 c)Ö5 d)2Ö2 e)1 +Ö2
26)(UEL –PR) O argumento principal do número complexo Z= -1 +iÖ3 é:
a)11p/6 b)5p/3 c)7p/6 d)5p/6 e)2p/3
27)(PUC-SP) O conjugado do complexo 1 +3i/2-1 deve ser:
a) -1/5 +7i/5 b)-1/5 -7i/5 c)1/5 +7i/5 d)1/5-7i/5 e)2i
28)(PUC –MG) O produto ( x +yi)(2 +3i) é um número real quando x e y são reais e ;
a)x-3y=0 b)2x-3y=0 c)2z+3y=0 d)2x+2y=0 e)3x +2y=0
29)(Fesp-SP) O módulo de ( 1 +i)² / (3 +4i) é:
a)3/25 b)4/25 c)3/5 d)4/5 e)2/5
30)(Fuvest-SP) É dado o número complexo W = cosp/3 + i senp/3.O valor de W + W² +W3 +W4 +W5 será:
a)-2 b)-3 c)-1 d)-5 e)-7
31)(Fuvest-SP)Sabendo-se que a é um número real e que a parte imaginária do número complexo 2 +i /a +2i =0,
então a é:
a)-4 b)-2 c)1 d)2 e)4
32)(Fuvest-SP)Dado o número complexo Z = Ö3 + i , o menor valor do inteiro n ³ 1para qual Zn é um número real será:
a)8 b)6 c)12 d)4 e)5
33)(Puc-RS)Se Z é um número complexo e Z é o seu conjugado Z .Z será:
a)│Z│² b)│Z│ c)Z² d)Z e)
34)(Fei-SP)Se 2i/Z=1 +i ,então o número complexo Z é:
a)1-2i b)-1 +i c)1-i d)1+i e)-1+ 2i
35)(Makenzie-SP)Z= ÖX +ÖY i, com X e Y reais positivos, é um número complexo tal que Z² =4i.Então │Z│vale:
a)1 b)2 c)4 d)6 e)8
36)(Puc-RJ)se i = Ö-1 , então a soma i0 + i1 + i² + ....i200 é igual a :
a)i b)1 c)2i d)i20.301 e)-i
37)(URRN)Se Z = ( 1 + i )²/1-i , então o argumento de Z será:
a)-3p/4 b)-p/4 c)p/4 d)p/2 e)3p/4
38)(PUC-MG)A medida do menor ângulo positivo que usa na forma trigonométrica do número complexo 1-Ö3.i, em radianos ,é:
a)5p/3 b)p/2 c)2p/3 d)4p/3 e)p/3
39)(UFV-MG)Se Z é um número complexo tal que │Z-3 │ =│Z -7│=│Z-3i│, então é correto afirmar que:
a)Re(z) ñ 5 b)Im(z)á 5 c)│Z│=2Ö5 d)│Z│=5Ö2 e)Z=5 – 5i
40)(Unesp)O valor da expressão i101 .(1-i)46(1 + i)-44 , com i =Ö-1 deve ser:
a)1 b)8 c)4 d)6 e)2
41)(Fuvest-SP)O produto de (5 +7i ) por (3-2i) vale:
a)1 +11i b)1 +31i c)29+11i d)29-11i e)29+31i
42)(AMAN-RJ)Considere todos os números complexos Z = x + yi , ode x ÎR e yÎR e i = Ö-1 tais que
│Z -Ö-1 │£ │Ö2/ 1+i │.Sobre esses números complexos é correto afirmar:
a)nenhum deles é imaginário puro
b)existe algum número real positivo
c)são todos imaginários
d)apenas um número é real
e)nenhum é real
43)(ITA-SP)A soma das raízes de Z3 + Z² -│Z│ + 2 Z= 0 é :
a)-2 b)-1 c)0 d)1 e)2
44)(ITA-SP)O número complexo 2 +i é raiz do polinômio f (x ) = x4 + x3 + px² + x +q com p, q Î R.Então , a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes de f é :
a)4 b)-4 c)6 d)5 e)-5
45)(ITA-SP)Considere a equação 16 ( 1-ix/1 +ix )3 = ( 1 + i/1-i -1-i /1 +i )4.Sendo x um número real, a soma dos quadrados das soluções dessa equação é:
a)3 b)6 c)9 d)12 e)15
Gabarito
1) -3 e -1/2 16)5
2) -3 e 2 17) a)1+i,1-i b)4i,-4i c)Ö2/2 +1 +Ö2/2i d)3+3i e)-4+3i/4
3) x=-3 y = -1 e y = 1/4 18)6/5-3i/5 e 6/5+3i/5
4) a)9+9i b)9+10i c)-70-35i d)81-93i/130 19)2Ö2
5)i 20)2+4i,2-4i │z1 │=│z2 │=2Ö5
6)x=y=Ö2 e x=y=-Ö2 21)b
7)-1-i 22)d
8)8 23)d
9) z=2(cos2p/3+isen2p/3) z=2(cos4p/3+isen4p/3) 24)e
10)5Ö2 25)b
11) imaginário puro 26)e
12)z=4(cosp/3+isenp/3) 27)b
13)z=Ö3/2-i/2 28)e
14)-i 29)e
15)-1/2+Ö3i/2 30)c
31)e
32)b
33)a
34)d
35)b
36)b
37)e
38)a
39)d
40)e
41)c
42)d
43)a
44)e
45)b
35)b
36)b
37)e
38)a
39)d
40)e
41)c
42)d
43)a
44)e
45)b
FUNÇÕES :UM POUCO DE HISTÓRIA
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática.
Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática.
A origem da noção de função:
Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.
Vai ser a partir desta época que uma nova teoria ,
o cálculo infinitesimal surgirá, sendo determinante para o desenvolvimento da matemática contemporânea.
Portanto a noção de função não é muito antiga. No entanto, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores (por exemplo, na mais elementar operação de contagem).
Mas o seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII.
Foi Leibniz (1646
- 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Leibniz usou o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu igualmente a terminologia de "constante", "variável" e " parâmetro".
Leibniz
(1646-1716)
Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos,tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adotada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748).
Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).
Este conceito sofreu uma grande evolução ao longo dos séculos, sendo que a introdução do método analítico na definição de função (séc., XVI, séc. XVII) veio revolucionar a Matemática.
A origem da noção de função:
Desde o tempo dos Gregos até à Idade Moderna a teoria dominante era a Geometria Euclidiana que tinha como elementos base o ponto, a reta e o plano.
Vai ser a partir desta época que uma nova teoria ,
o cálculo infinitesimal surgirá, sendo determinante para o desenvolvimento da matemática contemporânea.
Portanto a noção de função não é muito antiga. No entanto, aspectos muito simples deste conceito podem ser encontrados em épocas anteriores (por exemplo, na mais elementar operação de contagem).
Mas o seu surgimento como conceito claramente individualizado e como objeto de estudo corrente em Matemática remonta apenas aos finais do Século XVII.
Foi Leibniz (1646
- 1716) quem primeiro usou o termo "função" em 1673 no manuscrito Latino "Methodus tangentium inversa, seu de fuctionibus". Leibniz usou o termo apenas para designar, em termos muito gerais, a dependência de uma curva de quantidades geométricas como as sub tangentes e sub normais. Introduziu igualmente a terminologia de "constante", "variável" e " parâmetro".Leibniz
(1646-1716)
Com o desenvolvimento do estudo de curvas por meios algébricos,tornou-se indispensável um termo que representasse quantidades dependentes de alguma variável por meio de uma expressão analítica. Com esse propósito, a palavra "função" foi adotada na correspondência trocada entre 1694 e 1698 por Leibniz e Johann Bernoulli (1667 - 1748).
O termo "função" não aparecia ainda num léxico matemático surgido em 1716. Mas, dois anos mais tarde Johann Bernoulli publicou um artigo, que viria a ter grande divulgação, contendo a sua definição de função de uma certa variável como uma quantidade que é composta de qualquer forma dessa variável e constantes.
Um retoque final nesta definição viria a ser dado em 1748 por Euler (1707 - 1783) - um antigo aluno de Bernoulli - substituindo o termo "quantidade" por "expressão analítica". Foi também Euler quem introduziu a notação f(x).
Euler
(1707-1783)
(1707-1783)
Como consequência da evolução do estudo das funções surgem numerosas aplicações da Matemática a outras ciências. Pois, os cientistas partindo de observações procuravam uma fórmula ( uma função) para explicar os sucessivos resultados obtidos. A função era, então, o modelo matemático que explicava a relação entre as variáveis.
A noção de função é de importância central na concepção e no estudo de modelos (dinâmicos, probabilísticos, de distribuição espacial,...), qualquer que seja a sua natureza, continuando por isso a ser uma noção-chave na Matemática atual.
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