domingo, 25 de outubro de 2009

Bizet

Georges Bizet nasceu em Paris em 1838. Foi registado com o nome Alexandre César Léopold Bizet[1], mas foi batizado em 16 de Março de 1840 com o primeiro nome Georges, conhecido posteriormente como Georges Bizet. O pai foi um cantor e compositor amador, e sua mãe era irmã do famoso professor François Delsarte. Entrou para o Conservatório de Música de Paris em 1848, aos nove anos de idade, onde estudou com Zimmerman, Marmontel e Halévy. Uma criança-prodígio. Em 1857, foi agraciado com um prêmio oferecido por Jacques Offenbach pela ópera Le Docteur Miracle, e obteve o Prémio de Roma, onde estudou durante três anos. Lá, Bizet desenvolveu obras como a Symphony in C Major[2][3][4] e a ópera buffa Don Procopio (1858-59). Depois da sua estadia em Roma, Bizet voltou a Paris onde se dedicou totalmente à composição. No Conservatório Bizet estudou com Fromental Halévy, com cuja filha Geneviève casou em 1869. Halévy morreu em 1862, deixando sua última ópera Noé inacabada. Bizet completou-a, mas não foi realizada até 1885, dez anos após a morte do próprio Bizet. Em 1863 escreveu a ópera Les pêcheurs de perles (Os Pescadores de Pérolas), sua primeira grande obra. Dessa época é também a ópera La Jolie Fille de Perth e sua famosa suíte L'Arlesienne, escrita como música incidental para uma peça teatral de Alphonse Daudet, e a peça para piano Jeux d'enfants (Juegos de niños). Também escreveu a ópera Djamileh.Em 1875, Bizet escreve Carmen, sua última e mais famosa ópera, sendo até hoje uma das mais representadas em todo o mundo. Escrita com base na novela homônima de Prosper Mérimée, a composição de Carmen teve a influência de Giuseppe Verdi, usando uma mezzo-soprano como personagem principal, a cigana Carmen. Não teve êxito imediatamente, apesar do mérito reconhecido por compositores como Camille Saint-Saëns, Pyotr Ilyich Tchaikovsky e Claude Debussy. Brahms presente em mais de vinte representações, considerou-a a maior ópera produzida na Europa desde a Guerra Franco-Prussiana. Bizet não viveu para ver o seu sucesso. Morreu de um ataque cardíaco aos 36 anos de idade, na data do seu aniversário de casamento, em Bougival (Yvelines), cerca de 10 milhas a oeste de Paris. Foi sepultado no Cemitério do Père-Lachaise, em Paris.Tumba de Georges Bizet em Père Lachaise CemeteryEmbora tenha sido mais famoso como compositor, Bizet foi também um grande pianista, elogiado inclusive por Franz Liszt, que o considerou um dos melhores executantes de toda a Europa[5]. Devido à sua obsessão pela perfeição nunca terminava a maior parte dos seus trabalhos. Cerca de quarenta óperas nunca passaram da fase de esboço.

TCHAIKOVSKY

TCHAIKOVSKY nasceu dia 7 de maio de 1840, em Vyalka Guberniya, hoje Votkinsk, Rússia, e morreu dia 6 de novembro de 1893. Ele passou aí seus primeiros 18 anos. Consta que teve que lutar contra a família que o queria formado em Advocacia. No entanto seu pai foi quem o deu seu suporte e foi seu financiador até os 25 anos. Em sua adolescência, foi levado para assistir "Don Giovanni", de Mozart. Já consagrado, revelou: -"A música de Don Giovanni foi a primeira que me transtornou. Ela fez nascer em mim um êxtase...! Devo a Mozart ter me dedicado totalmente à Música." Como regente de suas composições , Tchaikovsky conheceu a glória internacional. Nos Estados Unidos o sucesso foi tanto que, em 5 de maio de 1891, foi ele quem inaugurou a que se tornaria uma das salas de concertos mais importantes do Mundo: O Carnegie Hall de New York. Tres mulheres marcaram a vida dele: Sua mãe, por quem tinha grande carinho e afeição; Nadejda von Meck, que foi sua mecena e grande incentivadora; e Antonina Ivanovna Miliukova, com quem contraiu um desastroso casamento pois ele era um homossexual convicto! Tchaikovsky compôs: Concertos, Óperas, Balés, Sinfonias, Aberturas e outras obras para orquestra; Suites, Música de Câmera, peças para piano e também para corais. Das Aberturas, destaca-se a retumbante: ABERTURA 1812. Tchaikovsky escreveu essa peça para comemorar o fracasso da invasão francesa à Rússia e 1812.
A obra é mais conhecida pelo triunfante e bombástico final, com 16 tiros de canhão - em alguns concertos ao ar livre é executada com canhões de reais - e coro de sinos. O LAGO DOS CISNES- Foi o primeiro balé e foi encenado pela primeira vez no Teatro Bolshoi em Moscou em 1877. A BELA ADORMECIDA- Foi encenado pela primeira vez em 1890 no Teatro Marijnsky, em São Peterburgo. O QUEBRA-NOZES- Foi apresentado pela primeira vez de 6 a 18 de dezembro de 1892, no Teatro Marijnsky em São Peterburgo. Assim como o CONCERTO PARA PIANO No l de Tchaicovsky, desde a sua estréia no ano de 1875, é uma das obras de música clássica mais executadas e gravadas em todo o Mundo. O QUEBRA-NOZES, desde a data de sua estréia tem sido apresentado na época de Natal nas capitais e em muitas cidades de quase todos os países do Mundo, a mais de um século... Tchaikovsky chegou a ser combatido e desprezado em muitas partes da Europa. Contudo, ele é um dos compositores que mais tem obras de sucesso na história da música clássica. Foi quando escrevia sua última peça, a Sinfonia No 6 que ele declarou: "Gosto dela mais que de qualquer outra de minhas composições... Sem exagero, toda minha alma está nesta sinfonia." A estréia foi em São Peterburgo, Rússia, em 28 de outubro de 1893, sendo regida pelo próprio compositor. Patética é intensamente movida por flagrantes sentimentos de lamento e desesperança, e foi considerada uma homenagem aos amores de sua vida...

domingo, 18 de outubro de 2009

História da equação de segundo grau

As equações do segundo grau são conhecidas desde a época dos egípcios, babilônios gregos, hindus e chineses, tendo seu primeiro registro com os babilônios, que tinham uma álgebra bem desenvolvida e conseguiam resolver seus problemas por métodos semelhantes aos que conhecemos hoje ou pelo método de completar quadrados. As resoluções eram interpretadas geometricamente e não fazia sentido falar em raízes negativas. O estudo das raízes negativas foi feito a partir do século XVIII.Na Grécia, a matemática era filosófica e pouco prática. Euclides, em seus Elementos resolve equações polinomiais do 2° grau através de métodos geométricos. Diofanto (séc III d.C.), avançou na resolução das equações apresentando uma representação introduzindo símbolos.Na Índia, as equações eram resolvidas completando quadrados. Esta forma de resolução foi apresentada por Al-Khowarizmi, no século IX, onde se descartavam raízes negativas por não serem adequadas e aceitavam raízes irracionais. Na China, a resolução das equações foi através do método fan-fan introduzido por Zhu Shijie, no século XIII. Este método foi redescoberto no século XIX, pelos ingleses William George Horner e Theophilus Holdred e o italiano Paolo Ruffini . O método fan-fan ficou conhecido na Europa como método de Horner, mas já havia sido antecipado por Isaac Newton em 1669.
No Brasil, costuma-se chamar de fórmula de Bhaskara a fórmula que dá soluções a equação do segundo grau. Além de ser historicamente incorreto, esta nomenclatura não é usada em nenhum outro país.
OS BABILÔNIOS se utilizavam de tabletes de argila e tinham um sistema de numeração bem desenvolvido com base 60.
Dos tabletes que foram encontrados, existem alguns que tratam das equações do 2º grau. Em um deles há o seguinte problema: Achar o lado de um quadrado se sua área menos seu lado é igual a 870.
Hoje, escrevemos a equação assim x² - x = 870.
A Matemática grega é diferente da babilônica e egípcia. Eles transformaram os conhecimentos destas duas civilizações em resultados bem estruturados, onde a argumentação é feita através da demonstração matemática.
A maneira dos matemáticos gregos apresentarem seus resultados é geométrica, como nos Elementos de Euclides, escritos por volta do ano 300 a. C.
A matemática hindu ocorre entre 400 e 1200 d. C. e, seus primeiros registros, foram encontrados em vários Sulvasutras (conhecimentos teóricos necessários para construção de altares) escritos entre 800 e 500 a.C. Há também o Bakshali (manuscrito encontrado em 1881) e importante para o conhecimento da Matemática hindu.
As equações do 2º grau surgem na matemática hindu com os sulvasutras, sob as formas ax² = c e ax² + bx = c, sem apresentar soluções. Já com o Bakshali, descreve-se procedimento de solução correspondente à fórmula moderna.
O matemático Ariabata I (476 d.C.), chegou a uma equação do 2º grau a partir de um problema de progressões aritméticas. Isso por volta de 500 d.C
OS ÁRABES assimilaram a Matemática dos gregos e fizeram progressos em várias áreas.O matemático muçulmano Muhammad ben Musa al-Khowarizmi (780-850), foi o primeiro escrever sobre a solução de problemas usando al-jabr (adicionar termos iguais a ambos os membros de uma equação, a fim de eliminar termos negativos) e al-muqabala (redução de termos positivos por meio da subtração de quantidades iguais de ambos os membros da equação).A solução de quadrados repostos ou equação de 2º grau, quase sempre envolvia partilha de bens entre herdeiros inventariados. Os Juízes (Al – Khowârizmî, Bháskara...) resolviam seus problemas com um lenço (quadrado) branco marcado a carvão.

Lista de exercícios de logaritmo

1. Determinar o valor de x para o qual:
a) logx(128) = 7
b) log2(8) = x
c) log4(x) = 3
d) log1/2(2) = x
e) log2(1/2) = x
f) log3/4(4/3) = x

2. Calcular, pela definição:

1)Log1/9 3Ö 3 =

2)Log7 7 / 3Ö49 =

3)Log125/27 0,6 =

4)Log13/12 144/169=

5)Log16 3Ö 8 =

6)Log1/25 3Ö 5 =

7)Log100 Ö0,001 =

8)Log25 125 =

9)Log25 0,2 =

10)Log2 3Ö 64 =

Exercícios ( Função Par , Impar e Domínio)

1)Quais funções abaixo são pares e quais são ímpares?

a)f(x)= ex
b)f(x) = x
c)f(x) = x2
d)f(x) =x2 + Ö 1+x2
e)f(x) = x

2)Determine o Domínio das funções abaixo:

a) y=Ö x+2

b) y=Ö x

c) y= 1/x

d) y=Ö x2 -2x +1

e) y=Ö -x2 +3x -2

f) y= 1/Ö x -1

g) y=Ö -x

h) y=Ö 1-x2 + Ö x2 -1

i) y= 1/ x-1

j) y= 2x/ x2 +1
1)Quais funções abaixo são pares e quais são ímpares?

a)f(x)= ex
b)f(x) = x
c)f(x) = x2
d)f(x) =x2 + Ö 1+x2
e)f(x) = x

2)Determine o Domínio das funções abaixo:

a) y=Ö x+2

b) y=Ö x

c) y= 1/x

d) y=Ö x2 -2x +1

e) y=Ö -x2 +3x -2

f) y= 1/Ö x -1

g) y=Ö -x

h) y=Ö 1-x2 + Ö x2 -1

i) y= 1/ x-1

j) y= 2x/ x2 +1

k)y= Öx( 2-3x)

l)y=Öx/3Ö x-1

m)y=Ö 1 - Ö x

n)y=x/ x2 -1

o) y= Ö x-1 +Ö 3-x



k)y= Öx( 2-3x)

l)y=Öx/3Ö x-1

m)y=Ö 1 - Ö x

n)y=x/ x2 -1

o) y= Ö x-1 +Ö 3-x

Exercícios ( Função Composta e Função Inversa)

1)Sejam as funções f( x) = x +1 e g( x) = x-1 , determine :

a) f(1) e g(2)
b) f(2) e g(3)
c) a equação de f ( g(x))
d) a equação de g( f(x))


2)Sejam as funções f(x)= 0,5 x e g(x) = 2x , determine:

a)f(1) e g(0,5)
b)f(2) e g(1)
c)a equação de f(g(x))
d)a equação de g(f(x))

3)Determine a função inversa em cada caso:

a)f(x) =x
b)f(x)=3x
c)f(x)=2x+1
d)f(x)= 3x-4
e)f(x)= x3
f)f(x) =-5x +1

4) Considere f(x) = 5x-4 , determine:

a)f-1 (x)
b)Construa , no mesmo plano cartesiano , os gráficos de f(x), f-1(x) e
g(x) = x .

sábado, 17 de outubro de 2009

Trabalho coletivo

A organização do trabalho escolar e como ela se orienta na Escola Plural, é o que proporcionará ações formativas conscientes no interior da escola para alunos e professores trazendo implicações e aprimoramento ao trabalho pedagógico. Porém, o que muda tudo isso na perspectiva de torná-la possível, consiste no redirecionamento do olhar docente para a sua própria cultura e para a cultura escolar vigente. A grande questão que se coloca no momento é: Como fazer uma educação diferente que cuide e trate os sujeitos nela envolvidos como legítimos em sua condição de humanidade?
"A formação docente no interior da escola é um processo complexo que implica necessariamente as instâncias responsáveis pelas políticas públicas e pela implementação de mudanças." Contudo, no que diz respeito ao profissionalismo docente, e à sua formação, esta deve se constituir a partir da análise crítica e coletiva das práticas pedagógicas. A coordenação pedagógica tem um papel relevante no processo de organizar e mediar as ações pedagógicas. "Como articulador do trabalho do ciclo, o coordenador ocupa uma posição estratégica para
fomentar um trabalho formativo junto aos docentes" e possibilitar a construção de um currículo mais global e contínuo, priorizando as dimensões formadoras próprias da idade do ciclo e envolvendo todo o coletivo de trabalhadores.É necessário um grande investimento na coordenação pedagógica sob três perspectivas:
1) A perspectiva de gestão democrática que envolve a eleição direta de vices e diretores (que compõem a coordenação pedagógica), engajando todos os segmentos da escola: pais, alunos e trabalhadores em educação na discussão do projeto político pedagógico. Este aspecto é fundamental na posterior estruturação das relações internas da escola, que tem autoridade no coletivo.
2) A perspectiva de escolha do coordenador pedagógico, aliando um perfil de liderança e capacidade de articulação a uma concepção afinada com os princípios do projeto político pedagógico Escola Plural.
3) E a perspectiva das funções do coordenador, que podem ser assim descritas, levando-se em consideração que na Escola Plural somos educadores da infância e da adolescência como um todo e não apenas técnicos e especialistas: qualificação dos horários coletivos para reuniões pedagógicas, construção do projeto de formação dos educadores em função das necessidades de formação do aluno, articulação para a construção do projeto político pedagógico nos princípios da Escola Plural; organização do trabalho em função da educação fundamental como um todo; mediação do trabalho coletivo em função do aluno; qualificação dos sábados letivos escolares como espaços coletivos de formação para professores e alunos.
As necessidades e oportunidades de construção de novas identidades profissionais para o educador no interior da escola prevêem a experiência do trabalho da coordenação pedagógica e sua formação para exercer esta função. "Igualmente fundamental é o reconhecimento da experiência profissional - o conhecimento prático do
professor - como conteúdo do processo de formação". O perfil do profissional para assumir a coordenação - que
inclui a direção e vice da escola - deve se dar num processo de debate coletivo para se garantir que a mediação
dos processos de construção do projeto político pedagógico se dê na perspectiva dos princípios da Escola Plural.
"Portanto, são tempos escolares: momentos destinados a planejamento, elaboração e avaliação dos processos
pedagógicos; os momentos de orientação de alunos e professores de desenvolvimento de atividades e pesquisasde campo requeridas pelo político pedagógico, os momentos de articulação com movimentos sociais e culturais e momentos de construção dos saberes, competências e habilidades nas diversas áreas de conhecimento."É necessário o entendimento do grupo de profissionais como profissionais do ciclo em que atua como um todo e não da turma, da sala, apoio, referência.Pensar assim, também implica uma mudança de cultura e conseqüentemente de postura em relação à escola.Significa contar com um número de profissionais específico para o atendimento necessário. Significa romper com a lógica do que "sozinho resolvo melhor". Significa romper com a sobreposição de algumas disciplinas em relação às demais e com a dicotomia razão e emoção, corpo e cérebro, saber e poder.. Mudar uma cultura não é fácil. É um exercício que requer prática diária, que necessita tomar consciência do inacabamento e desprendimento para viver com o outro; conviver diretamente com as dúvidas e acertos descobertos com e no grupo. Requer conhecer alegrias e tristezas, frustrações, desejos e sonhos. Requer paciência de ouvir, de calar, de apenas olhar. Requer consciência de que humano como eu, o outro , colega ou não, coerente comigo ou não deve ser tratado e respeitado como legítimo outro. Significa que vencer e adquirir o sucesso coletivamente, contribuindo para que ele ocorra é bem m

Inteligência coletiva?

O que vem à sua mente ao ler a expressão inteligência coletiva? Se a resposta foi algo semelhante com um cérebro gigante, capaz de tomar decisões a partir do conhecimento adquirido e compartilhado por diversas pessoas, não está muito distante da teoria do pesquisador e escritor francês Pierre Lévy. Trata–se, sem dúvida, de uma interpretação peculiar. Para ele, a inteligência coletiva (IC) é, estruturalmente, a partilha de funções cognitivas, como a memória, a percepção e o aprendizado. “Elas podem ser melhor compartilhadas quando aumentadas e transformadas por sistemas técnicos e externos ao organismo humano”, referindo–se aos meios de comunicação e à internet. Porém, o escritor deixou claro que a IC não é só isso: “ela só progride quando há cooperação e competição ao mesmo tempo”. “É do equilíbrio entre a cooperação e a competição que nasce a IC”,deixando claro que não são apenas os cientistas que utilizam esse novo conceito: “as empresas necessitam cada vez mais de funcionários que necessitam lançar idéias e resolver questões coletivamente. As tecnologias atuais permitem isso”. A inteligência coletiva desenvolveu–se à medida que a linguagem evoluiu. A disseminação do conhecimento acompanhou a difusão das idéias através dos discursos, da escrita (”posso, hoje, ler Platão, mesmo que ele tenha escrito uma obra há mais de dois mil anos”) e da imprensa (”quanto mais os meios de comunicação se aperfeiçoam, mais ganha a inteligência coletiva”). Hoje, a era é discrepante. E inédita. “O mundo das idéias é o ciberespaço, que permite a interconexão e, portanto, a ubiqüidade. Ainda não conhecíamos essa situação”. De fato, a pesquisa de Lévy baseia–se em tríades inspiradas na conexão tripla entre o “signo, a coisa representada e a cognição produzida na mente”, definida pelo semiólogo americano Charles Sanders Peirce. Um exemplo? Para Lévy, a inteligência coletiva pode ser dividida em inteligência técnica, conceitual e emocional. A primeira corresponde à inteligência que lida com o mundo concreto e dos objetos, como a engenharia (coisa). A seguinte relaciona–se ao conhecimento abstrato e que não incide sobre a materialidade física, como as artes e a matemática (signo). A última, por sua vez, representa a relação entre os seres humanos e o grau de paixão, confiança e sinceridade que a envolve, e tem a ver com o direito, a ética e a moral (cognição).Porém, a melhor ilustração da tríade de Peirce fica por conta da economia da informação descrita por Lévy. Segundo o conferencista, no mundo atual as idéias são o capital mais importante, e que só pode ser adquirido quando as pessoas pensam em conjunto. Para isso, é necessária a produção de três capitais: (1) o técnico, que vai dar suporte estrutural à construção das idéias e pode ser exemplificado pelas estradas, prédios, meios de comunicação (coisa);(2) o cultural, mais abstrato, representado pelo conhecimento registrado em livros, enciclopédias, na World Wide Web (signo);(3) o social, que corresponde ao vínculo entre as pessoas e grau de cooperação entre elas (cognição).O capital técnico gera as condições necessárias para a disseminação dos capitais cultural e social que, por sua vez, criam o capital intelectual, ou seja, todas as idéias inventadas e depreendidas pela população e que, uma vez expostas, passam ao domínio público. Esse capital, enfim, é o núcleo de toda a inteligência coletiva. Lévy afirma que estamos apenas no início de uma nova etapa da evolução cultural. “A que tipo de civilização esse ambiente ecossistêmico de idéias vai nos levar?”, provoca. Antes que alertem–no de que apenas 8% dos brasileiros têm acesso à internet, ele dá sua opinião: “é claro que estamos longe do ideal, mas o índice de conexão no Brasil é notável. Não podemos esquecer que a escrita foi inventada há cerca de três mil anos, o alfabeto há mil e não é a totalidade do mundo que sabe ler e escrever”. Enfim, a teoria do pesquisador pode ser resumida na sua chamada ecologia das idéias, isto é, a relação bidirecional – e algo darwiniana – entre a população e as idéias. Se as pessoas (não) ajudam a reprodução de conhecimento, este lhe será totalmente (des)favorável. De outro modo, se as idéias (des)favoráveis são mantidas e disseminadas, a população (não) se reproduz. O papel da internet é fundamental para o funcionamento desse sistema. “O ciberespaço é a principal fonte para a criação coletiva de idéias, de forma que elas sejam usadas para o bem de todos, através da cooperação intelectual”.A conexão cada vez mais densa entre os indivíduos realmente contribui para ações coletivas. O crescente uso de ferramentas de groupware (tecnologias que auxiliam o trabalho cooperativo), que vão do prosaico correio eletrônico até sofisticados gerenciadores de workflow, também demonstra uma convergência necessária para a inteligência coletiva. Entretanto, há muito ainda o que pensar. Todas as questões polêmicas e importantes que surgiram com o advento em massa da internet envolvem–se diretamente com a inteligência coletiva: direitos autorais, software livre, weblogs, TV digital, educação à distância, jornalismo online são alguns dos temas relacionados à expansão do ciberespaço e merecem enfoque. Fora outra infinidade de temas, claro. Não se pode resumir um estudo tão amplo a alguns triângulos e ousar enquadrar os tópicos da pesquisa em cada um dos vértices. A pesquisa merece aprofundamento. E por que não um aprofundamento coletivo? Cada universidade poderia estudar uma das áreas citadas e, após, reunir os resultados obtidos das outras instituições e alcançar conclusões. Ou seja, o destino é esse mesmo. Usar a internet e as tecnologias atuais para a difusão e troca do conhecimento, de maneira que cada um possa contribuir, do seu espaço, no seu tempo, com sua idéia, com seu pensamento, com seu anglo de visão. Assim, será possível construir uma sociedade melhor planejada e, levando ao pé da letra, melhor pensada.

sexta-feira, 16 de outubro de 2009

Dostoievski ,meu autor

Escritor russo. Cursa estudos militares, que rapidamente abandona para se dedicar à literatura. Homem enfermiço (era epiléptico) e atormentado, tem uma vida difícil, mas no final dos seus dias conhece a fama. De Dostoievski pode dizer-se com justiça que é um romancista tipicamente russo e que representa na sua pessoa e na sua obra as grandezas e misérias da Rússia. O seu pai, um personagem tenebroso e alcoólico que morre assassinado, marca-o profundamente na sua juventude. As crises de epilepsia também perturbam gravemente toda a sua vida. Aos vinte anos inicia a carreira militar e aos vinte e quatro publica com êxito imediato um romance epistolar, Pobre Gente. Em 1849, comprometido numa conspiração, é condenado à morte; a pena é comutada por vários anos de trabalhos forçados na Sibéria. Isto permite-lhe uma observação minuciosa dos habitantes da povoação e leva-o a descobrir os Evangelhos, o que influi poderosamente no seu carácter. Recordações da Casa Morta é uma terrível descrição destes anos de presídio. Dostoievski, como outros romancistas do seu século (Dickens, Balzac), publica as suas narrativas por fascículos em diversos jornais. Aparece assim Humilhados e Ofendidos. O escritor viaja, luta com a censura e leva uma vida muito activa. Em 1866 fica viúvo e escreve O Jogador, vibrante confissão, baseada na sua própria experiência, de um homem possuído pela paixão do jogo. Neste mesmo ano escreve Crime e Castigo. O Idiota concede-lhe nova celebridade. O seu último grande romance é Os Irmãos Karamazov. O seu estilo, inconfundível, distingue-se por uma tensão nervosa exacerbada, por uma espécie de vibração interior. Os protagonistas são geralmente criminais, doentes ou loucos, sempre fora da normalidade. São personagens que vivem numa crise contínua; no seu interior produz-se uma dramática luta entre as forças do bem e do mal. Com frequência o protagonista, humilhado sob o peso das injustiças sociais, mostra-se a si mesmo como um bufarinheiro e parece experimentar um prazer mórbido na sua decadência. Nesta situação é objecto de visões e alucinações que dão ao relato um tom vibrante. O envelhecimento da pessoa, o pecado e a redenção são outros tantos aspectos sempre presentes na obra de Dostoievski.

Brahms

Filho do trompista da Guarda Municipal e de uma costureira, Brahms nasceu na cidade alemã de Hamburgo em 1833. Aos 20 anos, com duas composições para piano debaixo do braço, foi recebido em Weimar por Franz Liszt, um dos maiores concertistas de todos os tempos, íntimo amigo de Richard Wagner e defensor da música revolucionária. Num salão repleto de bajuladores e ostensivas riquezas, Liszt tocou as obras do jovem compositor a primeira leitura de modo assombroso, como se as estudasse há anos. Chamou a música de “revolucionária”, coisa que definitivamente não era – aliás, a vida inteira Brahms foi chamado de reacionário, o que também não é exatamente verdade. Seja como for, o julgamento leviano e a atmosfera de sofisticação puseram o retraído e sempre sincero Brahms em guarda contra Liszt, que executou sua obra mais recente, a interminável Sonata em si menor. Brahms dormiu, foi delicadamente acordado, despediu-se e nunca mais voltou.

Tom jobim

Pensou em trabalhar como arquiteto e chegou a se empregar em um escritório, mas logo desistiu e resolveu ser pianista .Tocava em bares e inferninhos em Copacabana, como no Beco das Garrafas no início dos anos 50, até que em 1952 foi contratado como arranjador pela gravadora Continental. Além dos arranjos, também tinha a função de transcrever para a pauta as melodias de compositores que não dominavam a escrita musical. Data de essa época as primeiras composições. A primeira canção gravada, Incerteza (com Newton Mendonça), na voz de Mauricy Moura. Tereza da Praia, parceria com Billy Blanco, gravada por Lúcio Alves e Dick Farney pela Continental (1954), foi o primeiro sucesso. Depois disso participou de gravações e compôs com Billy Blanco a Sinfonia do Rio de Janeiro, além de outras parcerias com a cantora e compositora Dolores Duran (Se é por Falta de Adeus, Por Causa de Você). Em 1956 musicou a peça Orfeu da Conceição com Vinícius de Moraes, que se tornou um de seus parceiros mais constantes. Dessa peça fez bastante sucesso a canção antológica Se Todos Fossem Iguais a voce, gravada diversas vezes. Tom Jobim fez parte do núcleo embrionário da bossa nova.

Renoir

De origem humilde, Renoir (1841-1919) começou muito cedo a ganhar a vida como pintor de porcelana, ofício que aprendeu numa escola noturna. Assistindo às aulas no ateliê de Gleyre, além de aperfeiçoar sua técnica, conquistou a amizade de Sisley, Monet e Bazille, com quem compartilhou dias de muita conversa e teorização em Paris e de árduo trabalho em Argenteuil, pintando ao ar livre. Desde o princípio sua obra foi influenciada pelo sensualismo e pela elegância do rococó, embora não faltasse um pouco da delicadeza de seu ofício anterior como decorador de porcelana. Seu principal objetivo, como ele próprio afirmava, era conseguir realizar uma obra agradável aos olhos. Apesar de sua técnica ser essencialmente impressionista, Renoir nunca deixou de dar importância à forma - de fato, teve um período de rebeldia diante das obras de seus amigos, no qual se voltou para uma pintura mais figurativa, evidente na longa série Banhistas. Mais tarde retomaria a plenitude da cor e recuperaria sua pincelada enérgica e ligeira, com motivos que lembram o mestre Ingres, por sua beleza e sensualidade.
Sua obra de maior impacto é O Baile no Moulin de la Galette, em que conseguiu elaborar uma atmosfera de vivacidade e alegria à sombra refrescante de algumas árvores, aqui e ali intensamente azuis. Em 1900 Renoir foi nomeado Cavalheiro da Legião de Honra. Morreu no sul da França, na cidade de Cagnes-sur-Mer.

Van Gogh

A obra de Van Gogh (1853-1890), um dos maiores mestres da história da arte de todos os tempos, estabeleceu as bases da pintura do século XX. Mais ousado do que os impressionistas, o holandês chegou a expressar seus sentimentos por meio de uma representação totalmente subjetiva da realidade. De difícil classificação, cronologicamente sua obra pode ser considerada pós-impressionista. Além de trabalhar nas filiais de Londres e Haia da empresa de arte Goupil & Cia., Van Gogh também exerceu a profissão do pai, que era pastor laico na Bélgica e em algumas cidades da Inglaterra. Finalmente, em 1880, decidiu abandonar suas antigas profissões e dedicar-se à pintura, mudando-se para Paris. Lá, graças ao irmão Theo, que trabalhava como comerciante de arte, logo fez contatos importantes. Ao conhecer a obra de Toulouse-Lautrec, Pissarro e os outros impressionistas, a produção de Van Gogh, até então sombria e melancólica .
(Os Comedores de Batatas) sofreu uma mudança radical. Interessou-se também pelas gravuras japonesas com suas cenas urbanas. O pintor holandês compreendeu então o objetivo de seus quadros. Sua paleta de cores se ampliou para tonalidades estrepitosas que iam além da representação da natureza – ondulando na tela elas expressavam o estado do artista no momento de captá-las. Usava a cor como meio de comunicação, algo que depois fauvistas e expressionistas levariam às últimas conseqüências.
Em 1888, Van Gogh se instalou em Arles, para poder observar de perto os matizes da natureza. Um ano depois, Gauguin viria juntar-se a ele, e Theo é que iria ajudá-los a sobreviver. Mas o temperamento de ambos tornou a convivência muito difícil, e Gauguin resolveu ir embora. O holandês chegou a decepar um pedaço da própria orelha e o deu depresente a uma prostituta amiga de ambos.
São dessa época seus famosos quadros de interiores, embora se deva dizer que Van Gogh nunca deixou de lado a temática do trabalho no campo, um das razões de sua admiração por Millet. Não se passou muito tempo, e o pintor sofreu um colapso nervoso e teve de ser internado num hospital para doentes nervosos em Saint-Remy. Apesar disso, continuou trabalhando, tendo pintado cerca de 200 quadros em dezenove meses. Paradoxalmente, foi a época em que criou suas obras mais admiráveis e geniais: Os Girassóis e Os Lírios, para citar algumas. Ao deixar o hospital, o pintor soube que sua pintura estava sendo avaliada em Paris. Um ano depois se suicidou. Atualmente, suas obras alcançam cifras astronômicas no mercado de arte.

Haendel

Georg Friederich Haendel (1685-1759). Nasceu em Halle, Alemanha, em 23 de Fevereiro de 1685. Ainda jovem, aos 11 anos já tocava violino, espineta, oboé, e órgão. Em 1703 foi para Hamburg e começou a compor óperas italianas. De 1706 a 1710 permaneceu na Itália, onde conheceu Domenico Scarlatti e Arcangelo Corelli, vindo daí a influência da melodia italiana sobre sua música. Ao retornar à Alemanha, Haendel tornou-se Kapellmeister em Hannover. Em 1710 viajou para Londres, onde a ópera italiana vinha rapidamente gozando de grande popularidade. Nesta mesma cidade produziu uma ópera, que recebeu grande aclamação e, tendo provado o sucesso, relutantemente voltou à Alemanha. Ao regressar à Inglaterra em 1712, tornou a compor várias óperas, como também um pouco de música cerimonial para a Rainha Anne. A Rainha deu ao jovem compositor um estipêndio anual de £200, com a esperança de mantê-lo em Londres como compositor da corte. Haendel nunca mais voltou a Hannover. Permaneceu na Inglaterra pelo resto da vida, naturalizando-se inglês em 1726, com o nome anglicano de George Frideric Handel. Compôs farta música instrumental, inclusive diversos concertos para órgão, uma quantidade boa de música para teclado e música de celebração, como as suites e danças conhecidas como The Water Music, escritas para acompanhar uma viagem da embarcação real ao longo do rio Tâmisa, em 1717. Também há The Musick for the Royal Fireworks, composta em 1749 para celebrar a paz de Aix-la-Chappelle, que tinha sido declarada no ano anterior. Seguindo o modelo de A. Corelli, também completou dois conjuntos de concerti grossi, alguns dos quais figuram entre os melhores exemplos do género Barroco como, por exemplo, o Concerto Grosso, Op. 6 Nº 5. Compôs também muita música coral para a corte real. Entre estes trabalhos estão os hinos escritos para o Duque de Chandos, várias odes e os quatro hinos para a coroação de 1727. Mas estas composições não eram a razão principal de Haendel ter vivido na Inglaterra, e sim a composição e produção de ópera italiana para uma audiência ansiosa pelo que estava na moda. Começando com Rinaldo em 1711, Haendel compôs mais de quarenta óperas rapidamente entre 1712 e 1741. Muitas destas encontraram grande sucesso, e ele obteve muito fama e dinheiro. Algumas das mais famosas destas óperas são Giulio Cesare (1724), Alcina (1735) e Serse (1738). Rinaldo ilustra a pompa, a grandeza e o virtuosismo vocal das óperas italianas do Barroco. Embora as óperas de Haendel tenham sido populares, quando foram escritas, o interesse do público inglês pela ópera tinha-se enfraquecido consideravelmente, e ele acabou perdendo muito dinheiro ao tentar achar sucesso adicional no género continuamente. Ansioso para achar uma audiência nova, voltou-se para a composição do oratório: trabalhos dramáticos, normalmente recheados de música coral, e frequentemente com um tema bíblico, com texto em inglês. A primeira dessas composições Esther tinha sido escrita em 1732, e seu sucesso foi seguido com outros oratórios. Por volta de 1740, tinha composto mais dois dos maiores trabalhos nesse género, Saul e Israel no Egito. Haendel fundiu estas histórias bíblicas com a melodia, com a majestade e com o drama que tinha absorvido nas óperas e trabalhos anteriores como Solomon, Jephtha, Samson, Joshua, Israel no Egito, e Judas Maccabeus, que trouxeram mais fama e reconhecimento para o compositor. Mas o génio de Haendel não está em nenhuma parte mais evidente do que na música sublime que proveu para seu oratório mais famoso, O Messias, que teve sua estréia em Dublin em 1741. Seu sucesso foi imediato. Os sucessos dos seus oratórios deixariam uma impressão profunda e duradoura na música inglesa durante o século seguinte.Em 1751, começou a ter dificuldade com a visão. Suportou três operações nos olhos, feitas pelo mesmo cirurgião que, sem sucesso, operou Johann Sebastian Bach, e os resultados catastróficos o levaram à cegueira completa. Haendel morreu uma semana depois de sofrer um colapso durante uma apresentação do oratório O Messias em 1759. Foi enterrado na Abadia de Westminster. Uma biografia dele foi escrita um ano depois de sua morte pelo Reverendo John Mainwaring.

Rimsky-Korsakov

Nikolai Andreievitch Rimsky-Korsakov (1844 - 1908) foi um romântico russo, dos mais russos, um autodidata que tornou-se um conhecedor perfeito do seu métier. Por profissão ele era oficial de Marinha, mas sempre estudou música e chegou a ser o Inspetor-Geral das orquestras na esquadra russa.
De uma geração após o Grupo dos Cinco, foi de um nacionalismo intransigente, embora sua música seja a menos eslava der todos os compositores russos. Ela está cheia de orientalismos e de exotismos, mas é evidente a influência de Liszt e sua musica de programa. Assim como é clara a influência da orquestração de Berlioz que ele, no entanto, superou, na opinião de Otto Maria Carpeaux, no que diz respeito à técnica.
Aluno de outro autodidata, Balakirev, é possível que Rimsky-Korsakov tenha sido o maior mestre da orquestração em toda a música moderna. Segundo Carpeaux, "sua arte de produzir sonoridades fascinantes e fantásticas é inigualada". Só que não serviu a objetivos mais altos.
Rimsky-Koprsakov tinha uma preferência e paixão pelo balé, pela dança e muitas de suas obras continuam no repertório. Os russos preferem suas óperas: A Moça de Pskov (1873), Floco de Neve (1882), Sadko (1896), Kitaj (1906), O Galo de Ouro (1907). Os músicos e a platéia ocidental preferem os poemas sinfônicos; Sadko (1867), Antar (1868) e sobretudo o popularíssimo Scherezade (1888), além da abertyura do concerto Páscoa Russa.
Se é verdade de quase todas essas obras são tecnicamente perfeitas, os críticos concordam que nenhuma delas tem profundidade.
Sua tradição foi continuada por Alexander Konstantinovitch Glazunov (1865 - 1936), compositor que ficou conhecido sobretudo pelo poema sinfônico Stenka Rasin, cujo tema principal ficou conhecido no mundo todo: a Canção dos Barqueiros do Volga
Mário de Andrade, como crítico, não demonstra muito respeito pela música de Rimsky-Korsakov. Reconhece sua técnica de "instrumentador formidável", mais informa que ele (com o francês Saint-Sãens e o alemão Richard Strauss) elevaram o gênero "à mais grandiosa e mesquinha finalidade" (acusação que fez também a Berlioz e a Liszt).
A única outra referência que faz ao compositor é para reconhecer que Balarirev, O Grupo dos Cinco, César Cui, Borodin, Mussorgsky e Rimsky-Korsakov souberam empregar elementos musicais populares na criação de uma música russa eficientemente nacionalista.
Segundo Edson Frederico, Rimsky-Korsakov escreveu três sinfonias, 15 óperas. Música orquestral e um Tratado de Orquestração. E ainda fez música para uma cena dramática de Pushkin, Mozart e Salieri (sobre a culpa do invejoso saliere na morte de Mozart).

Debussy

Claude Achille Debussy (1862-1918) nasceu em Saint-Germain-en-Laye e faleceu em Paris, vítima de um câncer. Pertencia a uma família de condições modestas, pois seus pais tinham uma loja de porcelanas e jamais estudaram música. Durante o episódio da Comuna de Paris ele e sua mãe se refugiaram em Cannes, onde Debussy teve as suas primeiras lições de piano. Tendo sido posteriormente admitido no Conservatório Superior de Paris, aprendeu as técnicas tradicionais do romantismo. Debussy não viria a ser um virtuoso pianista, conforme era seu desejo, no entanto seu interesse pela composição o levou para outros caminhos. Em 1880, se inscreveria no curso de composição e, após três anos, ganharia o segundo prémio do concurso "Prix de Rome", sendo, no ano seguinte, laureado com o primeiro prémio do mesmo concurso. Foi contratado para ser o pianista acompanhador da baronesa Von Meck, a mesma que protegia Tchaikovski. Isto lhe valeu viagens à Rússia, Itália e Áustria, além de fortuna, formação musical e bagagem cultural. Conheceu várias personalidades do mundo da música, como Wagner, por quem nutria especial admiração, e Liszt. Logo após seu retorno, seria entretanto obrigado, pelo Conservatório, a ficar dois anos na Vila de Médicis, em Roma, onde começaria a por em dúvida seus conceitos acerca do aprendizado musical que recebera, interrompendo assim sua estadia. De volta a Paris, igualmente interessado pela literatura e pela arte, iria participar activamente da vida social e intelectual da cidade, frequentando salões e cafés. No fim do século XIX, Paris era de fato o "centro do mundo e das artes" e toda esta vivência iria influenciar profundamente a sua produção musical. A vida de Debussy se dividia entre composição musical, concertos e soirées poéticas. Por possuir um estilo único, logo se destacou no meio musical, deixando fluir suas ideias, que se distanciavam dos padrões até então aceitos e consumidos pela sociedade. Chegou mesmo a negar-se a trabalhar para a Academia de Belas Artes, visto que a achava ultrapassada. Ganhou o Grand Prix de Rome em 1884 e, por volta de 1887, tinha começado a assistir às reuniões dos poetas simbolistas em Montmarte, lideradas por Stephane Mallarmé. A crença dos simbolistas era que aquela arte deveria atrair as sensações antes do intelecto. Visitou Bayreuth pela primeira vez em 1888 e esteve sob curta influência da música de Richard Wagner. Debussy também foi influenciado pelos pintores impressionistas franceses da época. As influências dessas duas escolas seriam cruciais no desenvolvimento do estilo musical do compositor. Manteve contato também com a música oriental, representada na Exposição de Paris de 1889. Ele acreditava que na música existiam elementos ainda a serem explorados e, por isso, concentrou-se na diversidade e nas emoções. Segundo ele: "Não existe teoria. É necessário somente ouvir. Prazer, esta é a lei". Em 1890, compôs os Noturnos, Prélude de l"après midi d"un faune e Suite Bergamesque. Apesar de serem consideradas três obras primas, Debussy só alcançaria algum respeito como compositor a partir de 1893, após haver composto, em 1892, sua ópera Pélleas e Mélisande, que estreou em Paris com grande sucesso, mas também gerou grande polémica. Em 1898, compôs Trois Chansons, utilizando-se de poemas de Charles d"Orléans, poeta do século XV. Mas estes não foram os únicos poemas musicados por ele. Verlaine e Beaudelaire também serviram de inspiração ao compositor em sua primeira fase, assim como Mallarmé, a quem dedicaria uma composição 20 anos depois. Entre as últimas peças que escreveu, a mais notável é a suíte sinfônica La Mer. Com três movimentos sinfónicos chamados sketches (esboços), o trabalho é uma impressão musical das visões e sons do oceano. Suas obras para piano incluem a suíte Childrens Corner (1906-08), 24 prelúdios em dois livros (1910, 1913) e uma coleção de 12 Estudos (1915). Composições para palco: a música incidental O Martírio de S. Sebastião (1911) e o balet Jeux (1912). Como composição orquestral, além das citadas acima, temos Images (1902-12). A música de câmara inclui: Syrinx (1913) e sonatas para violino e violoncelo. A música de piano de Debussy permanece famosa e os seus dois livros de prelúdios contêm o melhor das suas composições. Os títulos descritivos destas peças foram adicionados pelo compositor depois da conclusão deles: Footsteps in the Snow, título dado ao Prelúdios, Livro II: No. 6, é um exemplo bom da escritura evocativa de Debussy para o piano. Uma qualidade da música de Debussy é a ausência de temas principais. Suas peças perseguem o som puro, sendo este efeito o que impulsiona a sua música. Esta era uma idéia extremamente revolucionária para a época, já que, para ele, somente as emoções e os sons produzidos seriam importantes. Desta forma, ele redefiniria o uso da tonalidade, do ritmo e da harmonia, fazendo experimentações bizarras e estabelecendo correspondências misteriosas entre a natureza e a imaginação. A arte de Debussy encontra-se naturalmente ligada às correntes simbolistas e impressionistas, ainda que o compositor tenha se recusado a aceitar tais qualificações. A despeito de qualquer outra análise que possa ser feita, parece incontestável afirmar que as composições de Debussy afectaram muito o curso da música ocidental. Ele influenciou vários outros compositores, seus contemporâneos ou mesmo posteriores a ele, tais como: Ravel, Satie, Stravinsk e Bartók. Este último teria dito, em 1940, que Debussy lhe teria aberto novos horizontes para a harmonia e orquestração. Assim como os pintores impressionistas nos levam a pensar na França do século XIX, a música de Debussy nos remete à França dos primeiros anos do século XX, marcando o fim da era wagneriana.

Offenbach

Jacques Offenbach (1819-1880) Compositor francês de origem alemã, nasceu em Colónia a 20 de Junho. Filho de um cantor de sinagoga, foi para Paris ainda jovem, mas não se destacou nos estudos musicais que fez como compositor. Mesmo assim, estudou violoncelo no conservatório durante um ano (1833). Entrou em seguida para a orquestra da Ópera Cômica. Foi chefe de orquestra do Teatro Francês e, depois, fundou o Buffet Parisiense (1855). Compôs uma série de operetas de enorme êxito popular, sendo famoso nos anos de 1860 à 1880. Viveu os últimos anos de vida em penosa solidão, compondo a sua obra mais ambiciosa, que apenas seria estreada após sua morte. Offenbach morreu em Paris a 5 de Outubro. Suas obras, cheias de imaginação musical, verve rítmica e humor burlesco, reflectem o ambiente da sociedade do II Império na França. A música de Offenbach, foi cultivada sempre no sentido de tornar-se cada vez mais pessoal. Offenbach compôs de início cançonetas, sobre paródias de textos clássicos. Mas, já em 1847, sua Canção de infortúnio, para o poema Le Chandelier, de Alfred de Musset, é música mais séria. Em pleno apogeu do II Império, da vida parisiense alegre e irreverente, o compositor tornou-se popular por uma série de operetas, particularmente após tornar-se do teatro Bouffes-Parisiens. Destacam-se dessa época suas operetas Orfeu no inferno (1858), paródia espirituosa de Gluck, A ponte dos Suspiros (1861), O Brasileiro (1863) e A Bela Helena (1864). Nas composições citadas, predomina o espírito burlesco e irreverente do cancan, que culmina em sua opereta A vida parisiense (1866). Várias obras importantes de Offenbach, apresentadas em seguida, são hoje injustamente esquecidas: A grã-duquesa de Gerolstein (1867), La Périchole (1868), A princesa de Trebizonda (1868) etc. São obras cómicas, mas também fantásticas, que irradiam uma atmosfera mágica de absurdo divino. A mais conhecida das obras de Offenbach é a ópera Os contos de Hoffmann (1881). Nela, o autor abandona a frivolidade ou ligeireza, característica da maioria de suas operetas, e procura captar a atmosfera romântica dos contos de E.T.A. Hoffmann. Intitulada ‘ópera fantástica’, sua orquestração e recitativos adicionais são de Ernest Guiraud, que nela inclui a peça mais popular do compositor: a barcarola, retirada da opereta As ninfas do Reno (1864). Embora alguns críticos a censurem como excessivamente operística, Os contos de Hoffmann possui uma qualidade evocativa, uma atmosfera quase onírica. A obra continua no repertório. Offenbach compôs ainda pantomimas e o balet A borboleta (1860).

Sibelius

Jean Sibelius (1865 –1957 ) foi um compositor finlandês de música erudita, e um dos mais populares compositores do final do e início do Século XX. Sua genialidade musical também teve importante papel na formação da identidade nacional finlandesa.Sibelius nasceu numa família que falava sueco e residia na cidade de Hämeenlinna, no Grão-Ducado da Finlândia, então pertencente ao Império Russo. Seu nome de baptismo é Johan Julius Christian Sibelius e ele era conhecido como Janne por sua família, mas durante seus anos de estudo ele teve a ideia de usar a forma francesa de seu nome, Jean, após ver uma pilha de de um tio seu, que havia viajado de navio.Significativamente, indo de encontro ao largo contexto do então proeminente movimento Fennoman e suas expressões do nacionalismo romântico, sua família decidiu mandá-lo para um importante colégio de língua finlandesa, e ele frequentou o The Hämeenlinna Normal-lycée de 1876 a 1885. O nacionalismo romântico ainda iria se tornar uma parte crucial na produção artística de Sibelius e na sua visão política.A principal parte da música de Sibelius é sua colecção de sete . Como Beethoven, Sibelius usou cada uma delas para trabalhar uma ideia musical e/ou desenvolver seu próprio estilo. Suas sinfonias continuam populares em gravações e salas de concerto.Dentre as composições mais famosas de Sibelius, destacam-se: Finlandia, Valsa Triste (o primeiro movimento da suite Kuolema), Karelia Suite e O Cisne de Tuonela (um dos quatro movimentos da Lemminkäinen Suite). Outros trabalhos incluem peças inspiradas no poema épico , cerca de 100 canções para piano e voz, para 13 peças, uma ópera (Jungfrun i tornet, A Senhora na Torre), música de câmara, peças para piano, 21 publicações separadas para coral e músicas para rituais maçónicos. Até meados de 1926 foi prolífico; entretanto, apesar de ter vivido mais de 90 anos, ele quase não completou composições nos últimos 30 anos de sua vida, após sua Sétima Sinfonia em 1924 e o poema musicado Tapiola em 1926.

Qual o maior e mais importante matemático de todos os tempos?

Será Leibniz ,detentor do teorema fundamental do cálculo, será Viete ou Dioanto, pais da Álgebra , será Euler detentor de inúmeros progressos matemáticos no campo da Análise, será Gauss com sua geometria diferencial ou serão Arquimedes, Euclides,Cardano,Napier,Galileu,Kepler,Cavalieri,Descartes,Fermat,Bernoulli,Taylor,Legendre,Lagrange,Condorcet,Monge,Laplace,Cauchy,Boole, Poincare, Rieman, Gallois entre tantos?
È inexoravelmente impossível responder tal questão!!!!Mas se a pergunta fosse : “ Qual poderia ter sido o maior matemático de todos os tempos, provavelmente e resposta seria: Blaise Pascal .
Pascal jamais tivera ido a uma escola ou universidade.Seu pai , Etiene Pascal, matemático amador,desde que percebeu a genialidade do filho,resolveu ter a responsabilidade de educar Pascal.Aos 12 anos de idade Blaise quis saber o que era geometria , quando soube, pôs a querer reinventá-la.Um dia o pai encontrou na sala de brinquedos, tentando provar, que a soma dos ângulos internos de um triângulo vale 180º. O Pai não teria resistido ao pranto.....
Para aqueles que vêem na matemática um produto da razão, as idéias de Pascal oferecem peculiaridades. São Frases de Blaise Pascal:
“A razão é o lento e tortuoso processo pelo qual aqueles que não conhecem a verdade podem chegar a ela”
“O Último passo da razão é o reconhecimento de que há um número infinito de coisas que estão além do seu alcance”
“Afinal, o que é o homem na natureza? Um nada em relação ao infinito, tudo em relação ao nada, um ponto central entre o nada e o tudo e infinitamente longe de entender a ambos. Ele é incapaz de ver o nada de onde provém e o infinito em que está mergulhado”
“Nosso conhecimento dos primeiros princípios, tais como espaço, tempo, movimento e número,é tão certo quanto qualquer conhecimento que se obtém pela razão.Aliás, este conhecimento proveniente de nossos corações e instinto é necessariamente a base sobre a qual nosso raciocínio tira suas conclusões”
“O coração tem razões que a própria razão desconhece”
Por estas razões, Blaise Pascal , que abandonou a matemática pela teologia num certo período de sua vida, que deixou-nos não apenas obras completas, sobre cônicas , hidrostática e a máquina de calcular, nos deixou também um legado pelo interesse infinito do conhecimento, uma paixão imensurável pela evolução da ciência e pela sensibilidade humana .Poderia ter sido o maior e mais importante matemático de todos os tempos!!!!!!!

quarta-feira, 14 de outubro de 2009

Trigonometria no triângulo retângulo

Trigonometria


1)Quais as medidas dos catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 4cm
e um dos ângulos mede 20º?
2)Qual o comprimento da sombra de um poste de 5m no instante em que os raios
Solares estão formando um ângulo de 60º com o solo?
3)Em uma hora ensolarada , um bastão de 50 cm projeta uma sombra de 20cm
no solo .Na mesma hora uma árvore projeta sobre o chão uma sombra de 5 metros.
Qual a altura da árvore?
4)Uma pessoa , cujos olhos distam 170cm do chão afasta-se 2metros de um poste e
passa a ver sua extremidade sob um ângulo de 60º em relação a horizontal.Qual é
a altura do poste?
5)Um técnico dispõe de um teodolito de 1,5 metro de altura.Apontando esse
teodolito contra o topo de um edifício , registra um ângulo de 60º.Afastando-se 100
metros , registra 20º.Qual é a altura do edifício?
6)Num triângulo AEC, retângulo em Â, sabe-se que sen Ê = 0,8 e que a altura
relativa à hipotenusa mede 4,8cm. Determine o perímetro desse triângulo.
7)Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 60º com o chão.
se a escada tem 20m de comprimento, que altura ela atinge
8) Um poste telegráfico é fixado ao solo por um cabo que forma um ângulo de 54º
com o chão. A distância entre as extremidades inferiores do poste e do cabo é de
20m. Determine a medida da altura do poste.
9)A base maior de um trapézio isósceles mede 100cm e a base menor 60cm.Sendo
60º a medida de cada um de seus ângulos agudos , determine a altura e o perímetro
do trapézio.
10)Um observador vê um edifício , construído em terreno plano, sob um ângulo de
60º.Se ele se afastar do edifício mais 30 metros , passará a vê-lo sob um ãngulo de
45º.Calcule a altura do edifício.
11)Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um ângulo de 60º, uma torre na
margem oposta .Quando ela se afasta 40metros , esse ângulo é de 30º.Qual a largura
do rio?
12)Qual a área de um triângulo isósceles ABC cuja base é 8cm e que um de seus
ângulos agudos mede 45º.

Teorema de Pitágoras (Exercícios)

Torema de Pitágoras

1)Um triângulo retângulo possui hipotenusa medindo 17cm e um dos catetos medindo 15 cm .Qual o valor do outro cateto?
2)Um terreno retangular tem frentes de 39m e 52 m para duas ruas que formam um ângulo de 90º.Quantas árvores , distantes 13 metros uma da outra , podem ser plantadas ao longo do contorno desse terreno?
3)O lado de um triângulo eqüilátero mede 8cm .Qual o valor da sua latura?
4)O perímetro de um triângulo eqüilátero mede 18cm.Qual a altura deste triângulo?
5)Qual o perímetro de um triângulo isósceles de 16cm de base e 6 cm de altura?
6)As diagonais de um losango medem 10cm e 24cm .Determine o perímetro do losango.
7)Um trapézio retângulo de 15 cm de altura tem bases medindo 10cm e 18 cm .Determine a medida do lado oblíquo às bases.
8)As bases de um trapézio isósceles medem 7cm e 19cm e os lados não paralelos 10cm.Qual a altura desse trapézio?
9)Calcule a altura de um triângulo isósceles, sabendo que os lados congruentes medem 25cm cada um e a base do triângulo tem 14cm.
11)Calcule o raio da circunferência inscrita num trapézio retângulo de bases 10m e 15m.
12)Calcule o raio de um circunferência inscrita num triângulo retângulo de catetos medindo 6cm e 8cm.
13)As bases de um trapézio retângulo medem 3m e 9m e o seu perímetro é de 30m.calcule sua altura.
14)O lado de um losango mede 17cm e uma das diagonais mede 30cm.Qual o valor da outra diagonal?
15)Uma circunferência raio 4cm está inscrita num quadrado.Qual o valor da diagonal desse quadrado?

Área e perímtro de figuras planas(quadrado e retângulo)

Área de figuras planas

1)Qual a área de um quadrado de lado 12cm ?
2)Se a área de um quadrado mede 81cm2 qual deve ser o tamanho do seu lado?
3)Se o perímetro de um quadrado mede 48 cm qual o valor de sua área?
4)Se a diagonal de um quadrado mede 6Ö2 cm qual o valo de sua área e de seu perímetro?
5)Qual a área de um retângulo de lados 4cm e 6cm?
6)Um retângulo possui diagonal medindo 17cm e um de lados medindo 8 cm .Qual o valor de sua área e qual o valor de seu perímetro?
7)Qual o valor da área de um retângulo de diagonal 15 m e perímetro 42m?
8)A área de um retângulo é 40cm2 e sua base excede em 6cm da sua altura.Qual a altura deste retângulo?
9)Se a área de um retângulo mede 72cm2 e a base é o dobro da sua altura , qual o perímetro deste retângulo?
10) O perímetro de um retângulo é 42cm e a base mede 5cm a mais do que sua altura .Qual a área deste retângulo?
11)Ao lados de um terreno retangular estão na razão 2 :3 e a área é 150m2 .Qual o perímetro do terreno?
12)A base de um retângulo é 2cm maior do que sua altura , e a área é 48cm2 .Quais as dimensões deste retângulo?
13)Calcule a área de um terreno quadrado que está totalmente cercado por um muro de 96m de extensão.
14)O lado de um quadrado mede 8cm.Se o comprimento desse valor for aumentado em 50% do seu valor , em quanto por cento aumenta a área do novo quadrado em relação a área do quadrado inicial?
15)Para se construir um jardim retangular de área máxima 48m2 , um jardineiro estipula uma medida para um dos lados e aumenta em 8 metros a medida do outro lado.Quantos metros de cerca ele vai precisar para proteger o jardim ?

Chopin

Em 1831, o jovem Frederic Chopin, chegava em Paris. Nascido em 22 de fevereiro de 1810, trazia na bagagem meia dúzia de suas melhores obras e um amor inabalável pela Polônia, sua terra natal. Pianista talentoso desde criança, estava em excursão pela Europa, especificamente em Viena, onde já estivera quando menino, mostrando seu virtuosismo aos habitantes da capital austríaca.
Começou a estudar música com apenas 4 anos, alcançando rapidamente o sucesso não apenas em sua cidade, mas por toda a Polônia e mesmo na Rússia. Na primeira vez que esteve em Viena, em 1829, o público e a crítica o aclamaram. Mas, desta vez, a cidade não se mostrou tão receptiva. Haviam dezenas de virtuoses como ele.
Para completar sua má sorte, surpreende-o a notícia de que houve uma insurreição em Varsóvia. A revolta é sufocada brutalmente pelos soldados russos. Milhares de pessoas são exiladas, outras são proibidas de voltar à pátria. As cartas que enviava à sua família não eram respondidas. Resolve partir para Paris, passando antes pela Alemanha, onde encontra Schumann.
Contam que na primeira vez que visitou a casa do compositor ele não estava em casa. Sua esposa, Clara, o recebeu. Ela não falava francês, Chopin não falava alemão. Diz a história que ele se sentou ao piano e tocou algumas composições suas. Clara fez o mesmo com as músicas do marido.
Se isso é verdade ou não não se sabe. O que há de concreto é um artigo e Schumann na Nova Gazeta Musical, que dizia, a respeito de Chopin: "Tirem os chapéus, senhores, um gênio".
Em Paris, encontra rapidamente a fama e o sucesso. Fino, elegante, gentil, ele possui todos os predicados para ser aceito na sociedade francesa. Além disso, os poloneses contam com a simpatia do povo francês, o que lhe facilita ainda mais a estadia em seu novo país.
Tímido e reservado, de maneiras aristocráticas, Chopin destacou-se primeriamente como concertista de piano e professor, no que era muito requisitado pelas famílias ricas. Seu virtuosismo ao piano, somado ao seu aspecto doentio, contribuíam para a difusão da imagem do gênio. Em Paris torna-se amigo de Franz Liszt, Berlioz, Vitor Hugo e toda a plêiade de artistas que estão na capital francesa nessa época.
Chopin teve um grande caso de amor na juventude, com uma jovem chamada Maria Wodzinska. A história terminou por imposição da mãe da moça, que não permitiu mais o relacionamento. Se a incipiente tuberculose de Chopin foi ou não a causa, é discutível. Só não há dúvida do efeito que a decisão teve no espírito do compositor, que reuniu todas as cartas enviadas por Maria em um pacote intitulado Moja Bieda, "minha desgraça". Antes dela, Chopin havia se apaixonado por Constantia Gladskowa, uma famosa soprano, muito cortejada. O tímido Chopin jamais se declarou a ela, mas dedicou-lhe o adágio de seu Concerto em Concerto em Fá Menor, op.21.
Jovem, solteiro, rico e bem posicionado na capital francesa, a popularidade de Chopin era enorme. Todavia, continuava a morar sozinho. Em 1837, porém, essa situação mudou. Conheceu Aurore Dudevant, uma estranha mulher que assinava seus escritos com o nome de Georges Sand, e tinha o estranho hábito de se vestir de homem. Pois foi justamente com ela que Chopin passou a viver. Os parisienses se escandalizaram com a relação, mas Chopin continuou a ser cortejado
Sua saúde piorava dia a dia. Uma de suas irmãs já havia morrido de tuberculose. O "mal do século" também o atingira, e, em busca de tratamento, esteve com Georges Sand na ilha espanhola de Majorca. Excursionou também pela Inglaterra, onde seus concertos não lhe trouxeram vantagens pecuniárias.
Estava pobre. Todo o dinheiro que havia ganho ele gastou, e dependia agora de amigos para viver. Esse era seu maior problema, viver. Seus amigos não tiveram de esperar muito. Em 17 de outubro de 1849, a tuberculose o matou.
Em seu enterro, um punhado de terra polonesa foi lançada sobre seu caixão: era sua última vontade e sua última declaração de amor à Polônia.

Grieg

Edward Hagerup Grieg nasceu em Bergen (Noruega), a 15 de junho de 1843. De origem escocesa (o avô emigrara depois da Batalha de Culloden), era filho do cônsul honorário do Reino Unido em Bergen. Sua mãe, musicista e pianista excelente, iniciou-o na arte musical desde os seis anos de idade. Gênio precoce, sua primeira composição, uma variação para piano, inspirada numa melodia alemã, apareceu em 1853.
Entrando, em 1858, para o conservatório de Leipzig, aí teve por mestres J.Moscheles, K.H.Reneck, E.F.Richter, M.Hauptmanne e E.F.Wenzel, aperfeiçoando-se em piano e composição. Ali conheceu a obra de Schumann, cujo estilo o influenciou fortemente.
Concluído o curso (1862), regressou à terra natal. Mas como não conseguisse uma situação vantajosa, resolveu transferir-se para a Dinamarca. Já tendo escrito algumas peças para piano e vários lieder, Grieg se submeteu à apreciação de Niels Gade, então a maior figura da música dinamarquesa. Embora muito estimulado pelo mestre, o jovem compositor em pouco tempo se opõe à sua orientação conservadora. Não lhe interessava o mendelssohnianismo que norteava a conduta criadora de Gade. Grieg passou a combatê-lo. Resolveu continuar a obra do prematuramente desaparecido Richard Nordraak (1842 - 1866), o 'proclamador da independência musical da Noruega'. Deste, disse 'Revelou-me a música popular nórdica, e minha natureza'.
Viajou à Itália por duas vezes, em 1865 e em 1870, onde conheceu Ibsen e Liszt. Já de volta à Christiania (então nome de Oslo), escreveu as Peças líricas, para piano - talvez sua melhor obra, embora bem mais alemã que escandinava. Desse período data também o Concerto para piano em lá menor Op. 16.
Como pianista, regente e compositor, Grieg empreendeu várias turnês em diversos países, obtendo extraordinário sucesso. O encanto de suas melodias, sempre em frases curtas, apoiadas numa base harmônica que apesar de colorido nórdico não agride o sentido tonal, chegou a fascinar os auditórios. Na França chamaram-no até de ‘Chopin do norte’ e de ‘Mozart da Escandinávia’ - o que, sem dúvida, foi um grande exagero. Porém, mesmo um crítico intolerante como Debussy e que, pessoalmente, não simpatizava com Grieg, reconheceu-lhe o valor musical.
A saúde, minada pela tuberculose, o fez alternar as viagens com períodos de repouso num bucólico retiro na costa norueguesa. Mas não cessou de compor. Casou-se com Nina Hagerup, notável cantora, que foi, por algum tempo, intérprete de suas músicas. Em 1871 fundou a Sociedade de Concertos da Christiania, para a difusão da boa música e seu conhecimento. Aos trinta anos, isto é, em 1874, recebeu do governo de sua terra natal, uma pensão vitalícia de 1600 coroas anuais. O êxito e a fama não mais se separaram do compositor norueguês: recebeu o título de doutor honoris causa pela universidade de Cambridge (1895). Em 1897, tornou-se membro da Academia de Berlim. Grieg morreu em Bergen, a 4 de setembro de 1907.

Sustentabilidade e Ecologia

Sustentabilidade é um conceito sistêmico, relacionado com a continuidade dos aspectos econômicos, sociais, culturais e ambientais da sociedade humana. Propõe-se a ser um meio de configurar a civilização e atividade humanas, de tal forma que a sociedade, os seus membros e as suas economias possam preencher as suas necessidades e expressar o seu maior potencial no presente, e ao mesmo tempo preservar a biodiversidade e os ecossistemas naturais, planejando e agindo de forma a atingir pró-eficiência na manutenção indefinida desses ideais. A sustentabilidade abrange vários níveis de organização, desde a vizinhança local até o planeta inteiro.Ecologia é um nível superior de pensamento, onde tudo está relacionado com tudo, inclusive com as soluções. Como ciência do ínter-relacionamento homem/natureza, ela não pode ser vista apenas como o estudo do meio físico, pois de suas pesquisas e análises depende a compreensão da harmonia entre o homem e o ambiente.
Se quisermos condições ambientais melhores para nossos filhos e netos, teremos que deixar a preguiça, a monotoniaa a rotina de lado e tomar ações que possam realmente comtribuir decisivamente para a melhora do planeta.

segunda-feira, 12 de outubro de 2009

Smetana

Os rios Sena, Tâmisa, Reno, Danúbio e até o Volga nos são familiares, trazendo à nossa memória o conteúdo de antigas aulas de geografia. O Danúbio que atingiu o status de valsa nos faz lembrar Viena e Budapest, mas sua nascente está na Alemanha. O Reno de nacionalidade suíça, passa a ser destaque como rio alemão e serviu de coadjuvante para uma das óperas de Wagner. Com toda essa fama, nenhum deles se transformou em tema de poema sinfônico. O rio Moldau (Vltava) que banha a cidade de Praga deu nome a mais famosa composição do compositor tcheco Bedrich Smetana (1824-1884). Sua obra Ma Vlást (Minha Pátria) é composta por um ciclo de seis poemas sinfônicos, chamados Vysehrad, Vltava, Sárka, Das Florestas e Campos da Boêmia, Tábor e Blaník. O “Moldau” (Vltava), é certamente a mais perfeita descrição musical de um rio feita até hoje. A abertura executada pelas flautas sugere um córrego que vai crescendo e a medida em que a orquestra passa a desenvolver o tema principal, o rio começa a ganhar corpo. A música é inesquecível e reflete o curso do Moldau atravessando as florestas da Boêmia, suas águas refletindo as imagens de velhos castelos, testemunhos de uma era de esplendor. Ao chegar o momento em que a orquestra atinge uma cadência marcial, podemos imaginar o imenso rio chegando a Praga. Por sinal, a palavra “Vltava” tem origem no dialeto teutônico e significa “água selvagem”. Smetana formou com Liszt, Chopin, Grieg, Sibelius e Dvorák (não esquecer os russos de São Petersburgo) o grupo de compositores chamados de nacionalistas. Nascido em Litomysl na Boêmia, o jovem Smetana foi estudar música em Praga. Estimulado por Liszt, abriu uma escola de piano e deu início a suas primeiras composições. Em sua Sinfonia Festiva já se pressentem as sementes do nacionalismo tcheco. Sua obra “Os Brandenburgueses na Boêmia” foi a primeira ópera cantada em tcheco e seu sucesso garantiu a nomeação do compositor para o cargo de diretor e regente principal do Teatro Provisório de Praga, mais tarde denominado Teatro Nacional de Praga. A consagração de Smetana chega no ano de 1866 quando da estréia de sua ópera cômica “A Noiva Vendida”. Até hoje ela é considerada a ópera “oficial” da nação tcheca, sensibilizando o coração do público com a música baseada no folclore e danças nacionais. A vida pessoal de Bedrich Smetana foi dramática. Sua primeira esposa, Katerina Kolárová morreu tuberculosa, e três de suas quatro filhas morreram de difteria e escarlatina. Em 1874 surgiram os primeiros sinais da sífilis que lhe atacou a audição. Smetana passou os últimos anos de sua vida em surdez total, como Beethoven. Ainda conseguiu compor duas óperas, seu segundo quarteto de cordas e várias outras obras. Em 1883, o estágio terciário da doença levou-o a insanidade. O pai da música tcheca morreu confinado num sanatório, em abril de 1884. De suas seis óperas, merecem registro “A Noiva Vendida” que faz parte do repertório internacional, bem como “Dalibor” e “Libuse”. O compositor também nos deixou os Quartetos nº1 – “De Minha Vida”, nº2 em ré menor e o Trio em sol menor para piano violino e cello. Suas músicas mais conhecidas para piano são as Dez Danças Tchecas e as Polcas. Mas o grande sucesso musical que o projetou internacionalmente foi o “Moldau”.

Construtivismo

"Construtivismo significa isto: a idéia de que nada, a rigor, está pronto, acabado, e de que, especificamente, o conhecimento não é dado, em nenhuma instância, como algo terminado. Ele se constitui pela interação do indivíduo com o meio físico e social, com o simbolismo humano, com o mundo das relações sociais; e se constitui por força de sua ação e não por qualquer dotação prévia, na bagagem hereditária ou no meio, de tal modo que podemos afirmar que antes da ação não há psiquismo nem consciência e, muito menos, pensamento." "Entendemos que construtivismo na Educação poderá ser a forma teórica ampla que reúna as várias tendências atuais do pensamento educacional. Tendências que têm em comum a insatisfação com um sistema educacional que teima (ideologia) em continuar essa forma particular de transmissão que é a Escola, que consiste em fazer repetir, recitar, aprender, ensinar o que já está pronto, em vez de fazer agir, operar, criar, construir a partir da realidade vivida por alunos e professores, isto é, pela sociedade – a próxima e, aos poucos, as distantes.
A Educação deve ser um processo de construção de conhecimento ao qual ocorrem, em condição de complementaridade, por um lado, os alunos e professores e, por outro, os problemas sociais atuais e o conhecimento já construído (‘acervo cultural da Humanidade’)." "Construtivismo, segundo pensamos, é esta forma de conceber o conhecimento: sua gênese e seu desenvolvimento – e, por conseqüência, um novo modo de ver o universo, a vida e o mundo das relações sociais."

Sólidos geométricos

O estudo das figuras geométricas do espaço proporciona uma melhor compreensão do espaço físico em que vivemos. Para os iniciantes a exploração do espaço físico é um caminho natural à construção do conhecimento. Assim para iniciar o estudo de figuras geométricas do espaço propomos o uso de embalagens.
Fundamentação Teórica
A primeira questão é lembrar que as embalagens são representações de figuras geométricas e que os elementos: pontos, retas e planos são considerados primitivos, ou seja, não são definidos. Em seguida lembrar que o espaço é o conjunto de todos os pontos e é nesse espaço que vamos estudar a Geometria Espacial.
Neste texto chamamos figura a todo subconjunto de pontos do espaço. Retas e planos são exemplos de figuras. Uma figura é plana quando todos os seus pontos pertencem ao mesmo plano. Caso contrário, a figura é espacial.
Começaremos com uma definição provisória para poliedro, a partir da análise de objetos. “Poliedro é uma reunião de um número finito de polígonos que se ligam por seus lados, sendo cada um desses lados comum a exatamente dois polígonos. Cada polígono é chamado face. Cada lado de um polígono, comum a exatamente duas faces, é chamado de aresta. A interseção de três ou mais arestas são os vértices do poliedro”. Todo poliedro divide o espaço em duas regiões interior e exterior ao poliedro. Dizemos que um poliedro é convexo se o seu interior é convexo.
Lembraremos a definição de região convexa: “ Um conjunto C, do plano ou do espaço, diz-se convexo, quando qualquer segmento de reta que liga dois pontos de C está inteiramente contido em C”. Para o caso dos poliedros alguns autores preferem a seguinte definição: “Um poliedro é convexo se qualquer reta (não paralela a nenhuma de suas faces) o corta em, no máximo, dois pontos”.
Para rever estas noções propomos as atividades seguintes:
Atividade 1 – Poliedros
Objetivos
- Retomar a noção de superfície plana e não plana, ter presente a denominação poliedro, bem como a de face (F), aresta (A) e vértice (V).
- Verificar que cada face possui n arestas, com n ³ 3, podendo variar quando mudamos de face e que cada aresta é comum a duas faces.
- Verificar que em cada vértice do poliedro concorrem m arestas, com m ³ 3, podendo variar quando trocamos de vértice e que cada aresta contém dois vértices.
- Dar especial atenção às relações:
o V+ F = A +2 ( Relação de Euler );
o n F = 2 A , n o número de lados em cada face
o m V= 2 A , m o número de arestas que concorrem cada vértice
Observação: verificar que estas relações não são válidas para todos os poliedros.

LIsta de equações exponenciais 2

Lista de Exercícios de Equações Exponenciais( Professor Rogério ) **

1) 4x-1 = 32
2) 253x+1 = Ö 556-x
3) 32x +1 = 81
4) 4x+1 . 82x-3 = (2/16)1 +x
5) Ö2Ö 2Ö 2x = 2 0,125
6) 3 x2 – x -6 = 1
7) 3 .2 x + 3 = 192
8) 8x = 0,25
9) 8x2 – x = 4 x + 1
10) 3 x-1 – 3 x + 3 x+ 1 + 3 x + 2 = 306
11) 4x - 20.2x + 64 =0
12) 4x + 2.14x = 3. 49 x
13) 5 .5 x = Ö 5
14) 32x - 12.3 x =27
15) 6 x+5 =36
16) 2x+3 = 1/8
17) (1/3)x-1 = 7Ö (27)(x+3)
18) 4x -2x -2 = 0
19) (0,25)x+2 = (0,5). Ö (512) x/3
20) SE (0,125 )x/3 = 256 3x-2 então Ö x é:
21) (1/64) 3x-4 = 4Ö (0,5)8 x
22) (1/2)x2 -7x +12 = 1
23) 4 . ( 0,125) x +3 = Ö ( 0,0625 )x-2
24) (0,666...) x-4 = 6Ö ( 81/16) x/2 -1
25) 2x-1 - 9.2x-2 +1=0
26) 2x+1 .2x+3 = 8 x-1
27) 32x-1 -3x -3 x-1 +1 =0
28) (1/0,75) 3x/2 = (0,5625)2x+5,5
29)(0,0001)3x-5 = 3Ö10-x
30) (125/64)x/2 .(0,8)2x+8 = Ö(625/256) x-1

Gabarito



1) 7/2 16) -6
2) 4 17)-1/5
3) 3/2 18)1
4) 2 19)-6/7
5) -5 20)4/5
6) 3 e -2 21) 3/2
7) 3 22)4 e 3
8)-2/3 23)-6
9) 2 e -1/3 24)7/2
10) 3 25)2 e -1
11) 2 e 4 26)7
12) 0 27)0 e 1
13) -1/2 28)-2
14) 1 e 2 29)12/715) -3

Números Inteiros

Durante séculos, foram considerados absurdos e inconcebíveis. Os números negativos (como também o zero e os números imaginários) passaram tempos difíceis ao longo da História da Matemática.. Os números serviam para contar ou para exprimir medidas, e não há rebanhos com número negativo de carneiros, nem campos com número negativo de comprimento… Enquanto a noção de número estiver ligada a noções de grandeza ou de quantidade, os números negativos não podiam ser, naturalmente, concebidos nem aceitos. Entre os vários conceitos criados pelo homem, é certo dizer que encontra-se num lugar de destaque o número negativo. Hoje uma criança aceita com facilidade o resultado da conta 9-7, pois nove laranjas menos sete laranjas dá o resultado duas laranjas, facílimo não? Mas quando ocorre o inverso 7-9, como explicar? Se torna impossível, para muito alunos que ainda não chegaram ao 7º ano. O primeiro uso conhecido desses números encontra-se numa obra indiana, atribuída a Brahmagupta (628 d.C aprox.), na qual são interpretados como dívidas.
Conjunto dos "Números Absurdos". Que hoje conhecemos como números inteiros, positivos e negativos.Vamos conhecer este conjunto: O conjunto Z = {....-5,-4,-3,-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5....}, observe que este conjunto é formado por números negativos, zero e números positivos. Vale lembrar que zero é um número nulo ou neutro, não é negativo e nem positivo. No seu dia a dia você já dever ter deparado com números inteiros. Quando temos um crédito temos um número positivo, um débito é um número negativo, temperaturas acima de zero são positivas, abaixo de zero são negativas, também em relação ao nível do mar, os países que estão acima do nível do mar tem altitudes positivas, abaixo do nível do mar altitudes negativas, se você prestar atenção ao seu redor vai encontrar muitos números negativo e positivos. Reta Numérica InteiraReta NumeradaUma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.Ordem e simetria no conjunto ZO sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).Exemplos:(a) 3 é sucessor de 2(b) 2 é antecessor de 3(c) -5 é antecessor de -4(d) -4 é sucessor de -5(e) 0 é antecessor de 1(f) 1 é sucessor de 0(g) -1 é sucessor de -2(h) -2 é antecessor de -1Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.Exemplos:(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.Módulo de um número InteiroO módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais . Assim:x = max{-x,x}Exemplos:(a) 0 = 0(b) 8 = 8(c) -6 = 6Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.Soma (adição) de números inteirosPara melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7)perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7)ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3)perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.Exemplos:(a) -3 + 3 = 0(b) +6 + 3 = 9(c) +5 - 1 = 4

Ambientes Virtuais de Aprendizagem

Cada vez mais a Educação a Distância (EaD) aponta-se como uma alternativa metodológica para ensino-aprendizagem, especialmente em formação continuada, contribuindo para a formação de discentes mais autônomos. Em EaD, os atores do processo geralmente estão separados fisicamente não apenas no espaço, mas também no tempo. Nesse sentido, é imprescindível observar que atualmente essa modalidade de educação recebe influências da constante evolução das Tecnologias da Informação e da Comunicação (TICs), as quais ampliaram as possibilidades de interação entre os participantes, possibilitando o surgimento da EaD online.
A modalidade de EaD por algum tempo foi quase restrita à distribuição de materiais didáticos aos discentes e à avaliação do conteúdo programático pelos tutores. No entanto, esta modalidade começou a sofrer forte influência com o surgimento dos primeiros computadores pessoais na década de 80 e seu avanço significativo na década de 90, quando sua utilização começou a ser explorada devido às novas mídias digitais. Ainda na década de 90, ocorreu a rápida disseminação da Internet pelo mundo com a chegada da Web, proporcionando uma nova EaD, caracterizada pela comunicação via rede de computadores entre discente e docente. Tudo isso foi possível graças ao surgimento e avanço de diversas ferramentas de desenvolvimento para aplicações Web, como linguagens de programação, tais como Perl (Practical Extraction and Report Language), PHP (PHP: Hipertext Preprocessor), ASP (Active Server Pages), JSP (JavaServer Pages) e frameworks (estruturas de suporte ao desenvolvimento de software) especializados para o propósito.
Diante da modalidade de Educação a Distância (EaD), surge a necessidade de meios cada vez mais versáteis e próximos à realidade dos alunos, tutores e técnicos administrativos em cursos oferecidos a distância. Neste contexto, diferentes produtos de software têm sido desenvolvidos no propósito de aproximar as pessoas em comunidades virtuais através de ferramentas que possibilitam a troca de informações, experiências e a geração de novos conhecimentos. Esses aplicativos são conhecidos como Ambientes Virtuais de Ensino e sua utilização abrange desde cursos online de curta duração até cursos de pós-graduação.
Ao oferecer recursos específicos e um ambiente rico em interação, os ambientes virtuais de aprendizagens tornam-se uma base concreta para realização de cursos a distância online. Por Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), ou Virtual Learning Environment (VLE), entende-se um conglomerado de ferramentas para administração de cursos através de uma rede de computadores, como a Internet. Nesse ambiente, o docente pode disponibilizar conteúdos, interagir com os discentes, ensinando-os a distância por meio de recursos múltimídia ou outros que viabilizam variadas formas de comunicação Ambientes Virtuais de Aprendizagem.
Ambientes Virtuais de Aprendizagem são (software)s que auxiliam na montagem de (curso)s acessíveis pela (Internet). Elaborado para ajudar os docentes no gerenciamento de conteúdos para seus discentes e na administração do curso, permite acompanhar constantemente o progresso dos discentes. Como ferramenta para Ambientes digitais de aprendizagem são sistemas computacionais disponíveis na internet, destinados ao suporte de atividades mediadas pelas tecnologias de informação e comunicação. Permitem integrar múltiplas mídias, linguagens e recursos, apresentar informações de maneira organizada, desenvolver interações entre pessoas e objetos de conhecimento, elaborar e socializar produções tendo em vista atingir determinados objetivos.

Os AVAs buscam oferecer aos discentes e docentes características semelhantes a uma sala de aula real, privilegiando a interação entre discentes/discentes, discentes/docentes, a autoria de material didático e a administração da sala virtual, além do monitoramento de atividades virtuais. Nesse sentido, existe uma lista de ferramentas que um ambiente virtual de aprendizagem deve conter, destacando:

Quadro de Avisos: tem por objetivo fornecer ao discente informação sobre o que deve estar acontecendo no curso, agenda as realizações online e as chamadas de participação dos alunos.
Distribuição de aulas Online: permitir disponibilizar os conteúdos dos módulos, como arquivo e transparências, bem como outros formatos de apresentação de multimídia, por exemplo.
Frequently Asked Questions (FAQ): conjunto de respostas à perguntas frequentes, é uma forma mais rápida do aluno buscar solução à dúvidas comuns.
Trabalho em Equipe: oportuniza os estudantes a trabalharem em pequenos grupos em um projeto definido.
Fórum de Discussão: principal método de suporte aos discentes, oportuniza-os comunicarem entre si e com o tutor sobre atividades e conteúdo do módulo.
Café Acadêmico: área de encontro e discussão informal entre docentes e participantes do curso.
Bate-Papo: ferramenta de comunicação síncrona que provê melhoramento da motivação dos discentes.
Uma falha crítica apresentada em ambientes virtuais de ensino é que o desenvolvimento desses programas é muito focado no design, organização de conteúdos e monitoramento de atividades, em detrimento das necessidades dos aprendizes A experiência adquirida na utilização de ambientes virtuais de ensino pelos autores deste tutorial permite apontar ainda algumas outras deficiências:
· ausência de integração entre as diversas “salas”;
· ausência de recursos de acompanhamento acadêmico;
· ausência de suporte para programas curriculares (grades, disciplinas, boletim, trabalho de conclusão de curso, etc.);
· baixa qualidade dos recursos de bate-papo.
As deficiências apontadas surgem principalmente porque os ambientes virtuais de ensino são mais focados nas salas de aula isoladamente, não levando em consideração um curso seqüencial, onde o discente tenha que passar por várias salas e seus dados acadêmicos devem ser integrados
dentro das mesmas. Ferramentas como boletim acadêmico e uma ferramenta para formalização de trabalhos de conclusão de curso por exemplo tornam-se importantes no sentido de facilitar o acompanhamento da evolução de alunos dentro de um curso, tornando o ambiente virtual não apenas um meio de ensino, mas também uma solução acadêmica mais completa que realmente
monitore a vida acadêmica do discente.

Lista de exercícios de equações exponenciais

Lista de Exercícios de Equações Exponenciais( Professor Rogério ) *

1) 27x = 243
2) 625x = 25
3) (4/9)x = (81/16)
4) (5)x+2 = 125x
5) 7 3x -9 -49 = 0
6) 4x +3.(2 x +1 )= 16
7) 22x -12.(2x)= 32
8) (Ö 3 )x+1 = 243
9) 3x . 7 x = (441) 1/4
10) 3x – 3 4-x = 24
11) 2x-1 = 16x/3
12) 2 2x = 64x-2
13) (3/2) x = (8/27)
14) 32x - 6.3 x +27= 54
15) 81 1 -3x =1
16) (Ö2) 3x-1 =( 3Ö16 )2x-1
17) (1/7) = 7Ö (49)(x-1)
18) 9x +3x +1 = 4
19) ( 3Ö 2 x ) = 1/32
20) 32x = 3Ö 9
21) (4)x = 0,25
22) (52 –x ) x-3 = 1
23) 3x +2 = 5Ö 1/3
24) 3x +1 -3x = 1458
25) 2x+1 = 1024
26) (0,0001)x = 10 8-5x
27) 92x =27 x-1
28) (125)x-1 = (5) x+7
29)(8)2x+1 = 3Ö4x-1
30) (5)x-1 = 0,04

Gabarito



1) 5/3 16) 5/7
2) 1/2 17)-3
3) -2 18)0
4) 1 19)-15
5) 11/3 20)1/3
6) 1 21) -1
7)2 e 3 22)2 e 3
8)9 23)-11/5
9) 1/2 24)6
10) 3 25)9
11) -3 26)8
12) 3 27)-3
13) -3 28)5
14) 2 29)-1/2
15) 1/3 30)-1

domingo, 11 de outubro de 2009

A origem dos Sistemas lineares

Como foi mencionado no Capítulo Origem das Matrizes foram os chineses os primeiros a representar os sistemas lineares por meio de seus coeficientes escritos com barras de bambu sobre os quadrados de um tabuleiro. E acabaram descobrindo o método de resolução por eliminação que consiste em anular coeficientes por meio de operações elementares.
Porém, foi somente em 1683, que o japonês Seki Kowa, após um trabalho, que a idéia de determinante (como polinômio que se associa a um quadrado de números) veio à luz. Kowa, considerado o maior matemático japonês do século XVII, chegou a essa noção através do estudo de sistemas lineares, sistematizando o velho procedimento chinês (para o caso de duas equações apenas).
O uso de determinantes no Ocidente começou dez anos depois num trabalho de Leibniz, ligado também a sistemas lineares. Em resumo, Leibniz estabeleceu a condição de compatibilidade de um sistema de três equações a duas incógnitas em termos do determinante de ordem 3 formado pelos coeficientes e pelos termos independentes (este determinante deve ser nulo). Para tanto criou até uma notação com índices para os coeficientes: o que hoje, por exemplo, escreveríamos como a12, Leibniz indicava por 12.
A conhecida regra de Cramer para resolver sistemas de n equações a n incógnitas, por meio de determinantes, é na verdade uma descoberta do escocês Colin Maclaurin (1698-1746), datando provavelmente de 1729, embora só publicada postumamente em 1748 no seu Treatise of algebra. Mas o nome do suíço Gabriel Cramer (1704-1752) não aparece nesse episódio de maneira totalmente gratuita. Cramer também chegou à regra (independentemente), apresentando-a seu artigo Introdução à Análise das Curvas Planas (1750), motivado pelo desejo de resolver uma equação de uma curva plana que passasse por um certo número de pontos.
A + By + Cx + Dy2 + Exy + x2 = 0.

O francês Étienne Bézout (1730-1783), autor de textos matemáticos de sucesso em seu tempo, sistematizou em 1764 o processo de estabelecimento dos sinais dos termos de um determinante. E coube a outro francês, Alexandre Vandermonde (1735-1796), em 1771, empreender a primeira abordagem da teoria dos determinantes independente do estudo dos sistemas lineares — embora também os usasse na resolução destes sistemas. O importante teorema de Laplace, que permite a expansão de um determinante através das menores de r filas escolhidas e seus respectivos complementos algébricos, foi demonstrado no ano seguinte pelo próprio Laplace num artigo que, a julgar pelo título, nada tinha a ver com o assunto: "Pesquisas sobre o cálculo integral e o sistema do mundo".
O termo determinante, com o sentido atual, surgiu em 1812 num trabalho de Cauchy sobre o assunto. Neste artigo, apresentado à Academia de Ciências, Cauchy sumariou e simplificou o que era conhecido até então sobre determinantes, melhorou a notação (mas a atual com duas barras verticais ladeando o quadrado de números só surgiria em 1841 com Arthur Cayley) e deu uma demonstração do teorema da multiplicação de determinantes — meses antes J. F. M. Binet (1786-1856) dera a primeira demonstração deste teorema, mas a demonstração apresentada por Cauchy era superior.
Além de Cauchy, quem mais contribuiu para consolidar a teoria dos determinantes foi o alemão Carl G. J. Jacobi (1804-1851), cognominado às vezes "o grande algorista". Deve-se a ele a forma simples como essa teoria se apresenta hoje elementarmente. Como algorista, Jacobi era um entusiasta da notação de determinante, com suas potencialidades. Assim, o importante conceito de jacobiano de uma função, salientando um dos pontos mais característicos de sua obra, é uma homenagem das mais justas.

A origem das Matrizes

Perto da metade do século XIX, o matemático inglês Arthur Cayley (1821 – 1895) foi o primeiro a estudar matrizes, definindo matriz nula matriz identidade a partir do que se pode pensar em operações sobre elas. Cayley descendia de uma família de gente muito talentosa e desde cedo mostrou aptidão para os estudos. Seus pais então decidiram enviá-lo para estudar na Universidade de Cambridge. Em 1863, ele aceitou um convite para ocupar a cadeira de matemática criada na própria Universidade, permanecendo até a sua morte. No período em que era estudante conheceu James Joseph Sylvester (1814 – 1897), também um ícone da álgebra britânica. Como ambos pesquisavam as mesmas áreas, tornaram grandes amigos. E foi nessa época então que Cayley, 1855 escreveu um artigo usando o termos Matriz (termo este que já teria sido usado por Sylvester a cinco anos antes) salientando que como pela lógica a noção de Matriz antecedesse a de Determinantes o que historicamente não era correto, pois os Determinantes já eram usados na resolução de sistemas lineares muito antes da criação das matrizes. Como já mencionamos, os chineses alguns séculos antes de Cristo já resolviam sistemas de equações lineares por processos em que está implícita a idéia de matriz.
Cayley introduziu as matrizes em seu artigo simplesmente para facilitar a notação no estudo de transformações dadas por equações lineares simultâneas. Por exemplo, a observação feita por ele do efeito de duas transformações sucessivas sobre uma transformação dada, sugeriu-lhe a definição de multiplicação de matrizes (linhas por colunas), operação que como ele próprio verificou não gozava da propriedade comutativa. Nesse mesmo artigo Cayley propõe ainda que resumidamente a idéia de matriz inversa. Três anos depois, num outro artigo, Cayley introduziu as operações de adição de matrizes e multiplicação de matrizes por escalares, colocando inclusive suas propriedades.

O surgimento do Cálculo Diferencial Integral

O cálculo diferencial integral, também chamado de cálculo infinitesimal, ou simplesmente cálculo, é um ramo da matemática desenvolvido a partir da álgebra e da geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variações de grandezas (como inclinação de uma reta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo de uma curva ou o volume de um sólido), em que há movimento ou crescimento e que forças variáveis agem produzindo aceleração.
O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exatas. Foi desenvolvido por Isaac Newton (1643-1727) e Gottfried Leibniz (1646-1716), em trabalhos independentes.
Historicamente, Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física, ao passo que Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento histórico para conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneiras distintas ao teorema fundamental do cálculo.
Newton aperfeiçoou-se nos resultados da tangente e quadratura dos primeiros dois terços do século XVII. Ele afirmava em termos físicos quais eram os dois problemas mais básicos de cálculo: 1) Dado o comprimento do espaço continuamente, isto é, em todo instante de tempo, encontrar a velocidade do movimento, isto é, a derivada em qualquer tempo dado; 2) Dada a velocidade de movimento continuamente, encontrar o comprimento do espaço, isto é, a integral ou a antiderivada, descrita em qualquer tempo proposto.
Mas no lugar de derivadas, Newton empregou flúxions de variáveis, denominados, por exemplo, de x, e em vez de antiderivadas, usou o que ele chamou de fluentes. A partir de Gregory Newton adotou-se a idéia de que a área entre uma curva y e o eixo horizontal, era dependente do extremo direito, t = x. De fato, Newton pensou na área como sendo realmente gerada pelo movimento da reta vertical t = x. Assim, o flúxion da área era simplesmente yx. Então, a técnica de Newton para encontrar tais quadraturas era encontrar o fluente de y, equivalente a encontrar nossas antiderivadas.
As idéias de Leibniz sobre integrais, derivadas e cálculo em geral foram desenvolvidas a partir de analogias com somas e diferenças. Por exemplo, para o teorema fundamental do cálculo, se fosse dada uma sequência finita de números tais como: y,0,1,8,27,64,125 e 216, com diferenças y:1,7,19,37,61 e 89, ele notou que a soma das diferenças, y= (1-0)+
(8-1)+(27-8)+......(216-125), alternavam-se em torno da diferença entre o primeiro e o último valor de y, 216-0. Já para Leibniz, uma curva era um polígono feito de um número infinito de lados, cada um com comprimento”infinitesimal”.
Leibniz escreveu em 1680, “Eu represento a área de uma figura pela soma infinita de todos os retângulos limitados pelas ordenadas e diferenças das abscissas”, isto é, como ò ydx. Então, “elevando a alturas maiores”, baseando-se na analogia com somas finitas e diferenças, afirmou que ao encontrar a área representada por ò ydx, deve-se encontrar uma curva Y tal que as ordenadas y são diferenças de Y, ou y = dY. Em tempos modernos, Y é nossa antiderivada, e assim, Leibniz formulou uma afirmação inicial da parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo.

A história da Álgebra

A álgebra se caracteriza por seus métodos, coadjuvantes no emprego de letras e expressões literais sobre as quais se realizam operações. Ela está presente em toda a matemática, pois qualquer problema pode ser concluído convertendo-o em um cálculo mais ou menos algébrico.
O nome Álgebra vem do árabe “al –jabr” , termo que para o matemático Al-Khwarizmi, do século IX, significava uma das regras utilizadas na resolução das equações de 1º e 2º graus. Daí a palavra álgebra designar, durante muitos anos, o estudo da resolução de equações, mas sobretudo a melhor tradução fosse a ciência das equações.
Ainda que originalmente “álgebra” refira-se a equações, a palavra hoje tem um significado muito mais amplo, e uma definição satisfatória requer um enfoque em duas fases: na álgebra antiga, ou álgebra elementar, que é o estudo das equações e métodos para resolvê-las e na álgebra moderna ou abstrata, que é o estudo das estruturas matemáticas tais como grupos anéis e corpos .
Os antigos Egípcios, há cerca de dois mil anos antes de Cristo, usaram o método da falsa posição para determinar a solução da equação de primeiro grau. Este método foi utilizado durante muitos séculos. Aparece no “Líber Abaci” de Leonardo de Pisa (séculos XII – XIII), na “Summa de Arithmetica, Geometria, Prorportioni et Proportionalita” de Luca Pacioli.
De forma análoga, a resolução da equação de 2º grau, presente em inúmeros problemas da antiguidade, constituiu uma preocupação para os povos da antiga Babilônia e da antiga Grécia. Os Babilônios resolviam-nos consultando tabelas de quadrados e fazendo, quando necessário, um enquadramento adequado. Os gregos davam uma interpretação geométrica à equação de 2º grau, trabalhando com segmentos e áreas em vez de números. Os babilônios também conseguiram resolver alguns casos particulares de equações de 3º grau.
Ao longo dos séculos que precedem a renascença italiana, surgiram frequentemente equações de 1º, 2º e 3º graus, relacionadas com problemas que mereceram a atenção dos matemáticos.
A forma algébrica como linguagem, associada a sua simbologia, tem um tratamento sintático e semântico, ou seja , expressa uma sintaxe universal para uma semântica variável e isto, sem dúvida , foi a parte mais difícil da formalização matemática numa linguagem simbólica.
Mas essa linguagem começou a tomar forma por volta do século IV d.C., através do matemático Diofante de Alenxandria, que deu inicio à utilização de símbolos matemáticos para facilitar a escrita e os cálculos. Estes símbolos eram, geralmente, abreviações que expressavam quantidades e operações. Esta forma de representar argumentos na resolução de problemas, em que foram adotadas algumas abreviações, foi denominada “álgebra sincopada”.
O estilo sincopado foi utilizado também pelos algebristas italianos do século XVI. Por exemplo, a expressão “aebus p. rebus aequalis 20”, de
Gerônimo Cardano, seria uma forma sincopada de exprimir uma equação que na linguagem simbólica posterior correspondia a x3 + 6x =20.
Antes disso, os argumentos eram completamente escritos em palavras, ou seja, todos os passos relativos aos esquemas operatórios sobre números e equações eram descritos em linguagem corrente, sem abreviações, chamada de “álgebra retórica”, primitiva ou verbal.
Mesmo com a sincopação da álgebra grega, feita por Diofante, o resto do mundo continuou utilizando a álgebra retórica por centenas de anos. A própria Europa Ocidental a usou até o século XV. Da mesma forma aconteceu com a álgebra simbólica, que surgiu na França, mas só conseguiu impor seu estilo em grande parte do mundo, do meio do século XVII em diante.
A fase simbólica correspondia ao momento em que as idéias algébricas passam a ser expressas somente através de símbolos, sem recorrer ao uso de palavras.
Somente a partir do século XVI, a álgebra simbólica começou a ser formalizada pelas mãos do advogado e matemático amador François Viete, que ficou conhecido como o pai da Álgebra.
Viete escrevia “IQC – 15QQ + 85C - 225Q + 274N aequati 120” para
representar o que atualmente escrevemos como x5 -15x4 +85x3 -225x2 +274x =120. Seus foram René Descartes, Robert Record, Thomas Harriot e John Wallis.
No século XVII, o alemão Carl Friedrich Gauss, deu sua contribuição
à álgebra, demonstrando o seu teorema fundamental:”qualquer polinômio do grau n possui n raízes reais ou complexas”.
No século XIX, Niels Henrik Abel, apresentou seu parecer sobre as equações de grau 5 completas.
Por conseqüência, a álgebra entra na era moderna, com a teoria dos grupos, atribuída em parte a Gauss e sobretudo a Evariste Galois.